Teorija

Uzdevumos par veselu skaitļu pakāpēm ar mainīgu vai lielu kāpinātāju, bieži vien izmanto sekojošu teorēmu:
Virkne xn=an pēc moduļa \(m\) ir periodiska.
Perioda garumu un tajā ietilpstošos skaitļus var atrast, rakstot pēc kārtas skaitļus an pēc moduļa \(m\). Tiklīdz virknē anmodm parādās kāds jau bijis skaitlis, ir atrasts periods. Perioda garums nepārsniedz \(m\).
 
Tā kā kongruence pēc moduļa \(m\) sadala visus veselos skaitļus \(m\) klasēs, kur katrā klasē ietilpst skaitļi, kas dod vienādus atlikumus pēc moduļa \(m\), tad īpašību, kas jāpierāda visiem veseliem skaitļiem, pietiek pierādīt katras klases skaitļiem atsevišķi.
Piemērs:
Kādu atlikumu dod skaitlis 349 dalot ar \(7\)?
 
Atrisinājums. Pēc teorēmas, virkne 3n, ja \(n =0,1,2,...,\) ir periodiska pēc moduļa \(7\). Apskata šīs virknes pirmos locekļus:
ja \(n=0\), tad 301mod7;
ja \(n=1\), tad 313mod7;
ja \(n=2\), tad 3292mod7;
Ievēro, ka tālāk izdevīgi izmantot iepriekšējo kongruenci!
ja \(n=3\), tad 33323236mod7;
ja \(n=4\), tad 3433363184mod7;
ja \(n=5\), tad 3534343125mod7;
ja \(n=6\), tad 3635353151mod7
ja n=7, tad 37363133mod7
...
Redzam, ka atlikums \(1\) un \(3\) atkārtojas, tāpēc ir atrasts periods.
 
Šo informāciju ērti apkopot tabulā:
\(n\)\(0\)\(1\)\(2\)\(3\)\(4\)\(5\)\(6\)...
3nmod7\(1\)\(3\)\(2\)\(6\)\(4\)\(5\)\(1\)
 
Redzam, ka virkne 3nmod7 ir periodiska ar perioda garumu \(6\).
30361mod7
 
Tātad 349368+1313mod7.
 
Atbilde. Skaitlis 349, dalot ar \(7\), dod atlikumu \(3\).
 
Atsauce:
http://nms.lu.lv/wp-content/uploads/2015/12/teorija_Skaitludalamiba_Kongruences.pdf
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, JTV skolotāja