Teorija

Par skaitļu virkni an sauc funkciju, kas definēta naturālo skaitļu kopā  vai kādā šīs kopas apakškopā, t. i., an=fn,n.
Skaitļu virknes definīcijas apgabals ir naturālo skaitļu kopa.
 
Skaitļus, kas veido skaitļu virkni sauc par virknes locekļiem un apzīmē ar mazajiem burtiem un indeksiem, piemēram ai, kur \(i\) norāda virknes locekļa kārtas numuru. Pašu virkni apzīmē ar an.
 
Ja virkne definēta visā naturālu skaitļu kopā , tad to sauc par bezgalīgu virkni. Ja virkne definēta naturālu skaitļu kopas galīgā apakškopā, tad saka, ka virkne ir galīga.
 
Lai definētu skaitļu virkni, norāda paņēmienu, ar kuru var atrast jebkuru virknes locekli.
 
Skaitļu virknes uzdošanas veidi
 
1) Virkni var uzdot ar vārdiem vai uzrakstot visus virknes locekļus.
Piemēram, skaitļa \(75\) dalītāju virkne: \(1;3;5;15;25;75\). Šī virkne ir galīga.
 
2) Virknes locekļus var sakārtot tabulā.
Ar tabulu parasti uzdod galīgas virknes. Tabulas vienā rindā raksta naturālos skaitļus - virknes locekļu kārtas numurus, bet otrā - atbilstošus reālos skaitļus (virknes locekļu vērtības).
Piemēram, nedēļas darbadienās nostrādātās stundas
Diena
 1. 
 2. 
 3. 
 4. 
 5.
Darba stundas (h)
\(6\)
\(7\)
\(8\)
\(8\)
\(5\)
 
3) Virkni var uzdot grafiski.
Skaitļu virknes grafiks ir punktu kopa, kas var atrasties tikai I vai IV kvadrantā, jo skaitļu virknes definīcijas apgabals ir naturālo skaitļu kopa. Grafikā katrai naturālai argumenta vērtībai, kas ir virknes locekļu kārtas numuri, atbilst viena funkcijas vērtība - attiecīgais virknes loceklis.
No attēlā dotā grafika varam nolasīt, ka
a1=6;a2=3;a3=2;...
6nvirkne.png
 
Ievēro! Skaitļu virknes grafiks ir diskrēta kopa, t.i., virknes grafiks nav nepārtraukta līnija.
 
4) Virkni var uzdot ar analītisku izteiksmi jeb formulu, pēc kuras katrai argumenta \(n\) vērtībai var noteikt atbilstošo virknes locekli. Šo izteiksmi sauc par virknes vispārīgā locekļa formulu.
Piemēram, zinot virknes zn vispārīgā locekļa formulu zn=3n+2, var aprēķināt jebkuru no virknes locekļiem:
z1=1;z2=4;...z1000=2998
 
5) Virkni var definēt rekurenti, t.i., norādot pirmo vai dažus pirmos virknes locekļus un to, kā, izmantojot iepriekšējo locekli/locekļus, var iegūt nākamo virknes locekli.
Piemēram, ar rekurences formulu
 f1=f2=1fn+1=fn1+fn
ir uzdota *Fibonači virkne \(1;1;2;3;5;8;... \)  Katrs nākamais virknes loceklis ir divu iepriekšējo virknes locekļu summa.
 
Ar rekurences formulu ir grūti noteikt virknes locekļus ar lielu kārtas numuru. Piemēram, mēs nevaram galvā aprēķināt, cik ir Fibonači virknes tūkstošais loceklis f1000, jo tad mums vispirms jāzina, cik ir 999. un 998. virknes loceklis.
 
Matemātikā parasti cenšas noteikt virknes analītisko izteiksmi, uzdodot vispārīgā locekļa formulu.
Piemērs:
Virkne uzdota rekurenti x1=7;xn+1=xn+3. Nosaki vispārīgā locekļa formulu un tūkstošo virknes locekli.
Uzrakstām dažus virknes locekļus: \(7; 10; 13; 16;\) ... redzam, ka tā ir aritmētiskā progresija, kuras diference \(d=3.\)
Izmantojam aritmētiskās progresijas n-tā locekļa formulu:
an=a1+dn1an=7+3n1an=3n+4
 
Esam ieguvuši virknes analītisko formulu jeb vispārīgā locekļa formulu.
Nosakām a1000=31000+4=3004.
 
*Itāļu matemātiķis Leonardo Fibonači (ap 1175- ap 1250)
 
Atsauce:
Āboltiņa B, Kriķis D, Šteiners K., Matemātika 10. klasei, Rīga, Zvaigzne ABC, izm. 188.-192.lpp.
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa