27.
maijā
Eksāmens MATEMĀTIKĀ 9.KLASEI
Trenējies ŠEIT!

Teorija

Ar binomiālo sadalījumu sastopamies, ja nepieciešams novērtēt atkārtotu mēģinājumu varbūtības, turklāt katrā mēģinājumā tiek fiksēta tikai viena no atbildēm - ''jā'' vai ''nē''.  
Ja mēģinājumu izdara  \(n\) reizes, tad par kopējo rezultātu vairs nevar atbildēt ar ''jā'' vai ''nē''.
Ja ir \(n\) mēģinājumi, varam konstatēt notikuma iestāšanos jeb atbildi ''jā''
\(0\) reizes, 
\(1\) reizi,
... 
\(m\) reizes,
...
\(n-1\) reizi,
\(n\) reizes.
Piemērs:
Urnā ir \(6\) baltas un \(5\) melnas bumbiņas. Vienu bumbiņu izņem un nosaka tās krāsu, pēc kā bumbiņu ievieto atpakaļ urnā. To atkārto trīs reizes. Nosaki varbūtību  sadalījuma tabulu gadījuma lielumam \(X\), kur \(X\) – melno bumbiņu skaits.
  
Risinājums
Gadījuma lielums \(X\) var pieņemt četras vērtības. Melna bumbiņa
  • nav nevienu reizi (\(0\)) 
  • ir vienu reizi (\(1\)),
  • ir divas reizes (\(2\)),
  • ir trīs reizes (\(3\))).
Notikums \(A\) - "nejauši izņemta bumbiņa ir melna".
Iznākumu kopa ir
AAA;AAA¯;AA¯A;A¯AA;AA¯A¯;A¯AA¯;A¯A¯A;A¯A¯A¯, kur A¯ ir notikuma \(A\) pretējais notikums.
PA=511,P(A¯)=611
X=xi
\(0\)
\(1\)
\(2\)
\(3\)
PX=xi61161161135116116113511511611511511511
 
Piemēram, viena (\(1\)) melna bumbiņai der trīs iznākumi AAA¯;AA¯A;A¯AA - trešajā reizē ir melna vai otrajā reizē ir melna vai pirmajā reizē ir melna bumbiņa.
Pagaidām uzdevumu tālāk nerisināsim.
 
Aplūkosim varbūtības modeli, kuram ir spēkā šādi nosacījumi:
  1. tiek izdarīti \(n\) neatkarīgi mēģinājumi;
  2. katra mēģinājuma rezultātā notikums \(A\) iestāsies vai neiestāsies (citiem vārdiem, ir iespējami tikai divi mēģinājuma rezultāti – notikuma \(A\) iestāšanās vai neiestāšanās);
  3. notikuma \(A\) iestāšanās varbūtība \(p\) katrā mēģinājumā ir konstanta un nav atkarīga no mēģinājumu skaita.
Ja gadījuma lielums \(X\) ir notikuma \(A\) iestāšanās skaits \(n\) neatkarīgos mēģinājumos un visi trīs iepriekšminētie nosacījumi izpildās, tad saka, ka gadījuma lielums \(X\) ir sadalīts binomiāli ar parametriem \(n\) un \(p\).
Pārbaudām, vai mūsu piemērā izpildās binomiālā sadalījuma nosacījumi. 
Notikums \(A\) - "izņemtā bumbiņa ir melna".
  1. Tiek izdarīti 3 neatkarīgi mēģinājumi (\(n=3\)).
  2. Katra mēģinājuma rezultātā bumbiņa vai nu ir melna vai arī nav melna.
  3. Varbūtība, ka izņem melnu bumbiņu, katrā mēģinājumā ir konstanta p=511 un nav atkarīga no mēģinājumu skaita (ievēro, ka bumbiņu vienmēr ieliek atpakaļ urnā).
Varam secināt, ka gadījuma lielums \(X\) - melno bumbiņu skaits, ir sadalīts binomiāli ar parametriem \(n=\)\(3\) un  p=511.
 
Lai aprēķinātu varbūtību, ka notikums \(A\) iestāsies \(n\) mēģinājumos tieši \(m\) reizes, var izmantot Bernulli formulu.
Bernulli formula
 PX=m=Cnmpmqnm.
Tā kā \(q=1-p\), tad formulu var pierakstīt sekojoši: P(X=m)=Cnmpm1pnm, kur Cnm=n!m!nm!
Aplūkosim vēlreiz piemēru par melnajām bumbiņām.
Tā kā mēs jau varbūtības esam noteikuši, pārbaudīsim, vai tās atbilst Bernulli formulai.
X=xi
\(0\)
\(1\)
\(2\)
\(3\)
PX=xiC3051106113C3151116112C3251126111C3351136110
 
Redzam, ka varbūtību vērtības sakrīt. Atrisināsim uzdevumu līdz galam. Gadījuma lieluma \(X\) sadalījuma likumu izsaka šāda tabula:
X=xi
\(0\)
\(1\)
\(2\)
\(3\)
PX=xi2161331540133145013311251331
 
Neaizmirstam pārbaudīt, vai i=03pi=1.
2161331+5401331+4501331+1251331=13311331=1.
 
Ievēro!
Binomiālo sadalījumu var uzrādīt tabulas veidā. Šajā nolūkā tabulas pirmajā ailē uzrāda gadījuma lieluma \(X\) visus \(m\) variantus: \(0\); \(1\); \(2\); …; \(n-1\); \(n\). Skaitlis \(n\) ir neatkarīgo mēģinājumu skaits. Otrajā ailē uzrāda to varbūtības, kuras var aprēķināt ar Bernulli formulu vai arī izmantojot Ņutona binomu (skat. nākamo teoriju).
 
 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa
Koliškins A., Augstākā matemātika: Varbūtību teorija un matemātiskā statistika, III daļa, Rīga: Zvaigzne ABC, 2011, 26. -29.lpp