Binominālais sadalījums — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

ONLINE VIDEO KURSS

"MATEMĀTIKA 10. KLASEI"

Ar binomiālo sadalījumu sastopamies, ja nepieciešams novērtēt atkārtotu mēģinājumu varbūtības, turklāt katrā mēģinājumā tiek fiksēta tikai viena no atbildēm - "jā" vai "nē".

Ja mēģinājumu izdara $n$ reizes, tad par kopējo rezultātu vairs nevar atbildēt ar "jā" vai "nē".

Ja ir $n$ mēģinājumi, varam konstatēt notikuma iestāšanos jeb atbildi "jā"

$0$ reizes,

$1$ reizi,

...

$m$ reizes,

...

$n-1$ reizi,

$n$ reizes.

Piemērs:

Urnā ir $6$ baltas un $5$ melnas bumbiņas. Vienu bumbiņu izņem un nosaka tās krāsu, pēc kā bumbiņu ievieto atpakaļ urnā. To atkārto trīs reizes. Nosaki varbūtību sadalījuma tabulu gadījuma lielumam $X$, kur $X$ – melno bumbiņu skaits.

Risinājums

Gadījuma lielums $X$ var pieņemt četras vērtības. Melna bumbiņa

nav nevienu reizi ($0$)
ir vienu reizi ($1$),
ir divas reizes ($2$),
ir trīs reizes ($3$).

Notikums $A$ - "nejauši izņemta bumbiņa ir melna".

Iznākumu kopa ir

\{AAA; AA \bar{A}; A \bar{A} A; \bar{A} AA; A \bar{A} \bar{A}; \bar{A} A \bar{A}; \bar{A} \bar{A} A; \bar{A} \bar{A} \bar{A}\}

, kur

\bar{A}

ir notikuma $A$ pretējais notikums.

P (A) = \frac{5}{11}, P (\bar{A}) = \frac{6}{11}

$X = x_{i}$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P (X = x_{i})$	$\frac{6}{11} \cdot \frac{6}{11} \cdot \frac{6}{11}$	$3 \cdot \frac{5}{11} \cdot \frac{6}{11} \cdot \frac{6}{11}$	$3 \cdot \frac{5}{11} \cdot \frac{5}{11} \cdot \frac{6}{11}$	$\frac{5}{11} \cdot \frac{5}{11} \cdot \frac{5}{11}$

Piemēram, vienai melnai bumbiņai (vērtība $1$) der trīs iznākumi

AA \bar{A}; A \bar{A} A; \bar{A} AA

- trešajā reizē ir melna vai otrajā reizē ir melna vai pirmajā reizē ir melna bumbiņa.

Pagaidām uzdevumu tālāk nerisināsim.

Aplūkosim varbūtības modeli, kuram ir spēkā šādi nosacījumi:

tiek izdarīti $n$ neatkarīgi mēģinājumi;
katra mēģinājuma rezultātā notikums $A$ iestāsies vai neiestāsies (citiem vārdiem, ir iespējami tikai divi mēģinājuma rezultāti – notikuma $A$ iestāšanās vai neiestāšanās);
notikuma $A$ iestāšanās varbūtība $p$ katrā mēģinājumā ir konstanta un nav atkarīga no mēģinājumu skaita.

Ja gadījuma lielums $X$ ir notikuma $A$ iestāšanās skaits $n$ neatkarīgos mēģinājumos un visi trīs iepriekšminētie nosacījumi izpildās, tad saka, ka gadījuma lielums $X$ ir sadalīts binomiāli ar parametriem $n$ un $p$.

Pārbaudām, vai mūsu piemērā izpildās binomiālā sadalījuma nosacījumi.

Notikums $A$ - "izņemtā bumbiņa ir melna".

Tiek izdarīti 3 neatkarīgi mēģinājumi ($n=3$).
Katra mēģinājuma rezultātā bumbiņa vai nu ir melna vai arī nav melna.
Varbūtība, ka izņem melnu bumbiņu, katrā mēģinājumā ir konstanta $p = \frac{5}{11}$ un nav atkarīga no mēģinājumu skaita (ievēro, ka bumbiņu vienmēr ieliek atpakaļ urnā).

Varam secināt, ka gadījuma lielums $X$ - melno bumbiņu skaits, ir sadalīts binomiāli ar parametriem $n=$$3$ un

p = \frac{5}{11}

Lai aprēķinātu varbūtību, ka notikums $A$ iestāsies $n$ mēģinājumos tieši $m$ reizes, var izmantot Bernulli formulu.

Bernulli formula

P (X = m) = C_{n}^{m} \cdot p^{m} \cdot q^{n - m}

Tā kā $q=1-p$, tad formulu var pierakstīt sekojoši:

P (X = m) = C_{n}^{m} \cdot p^{m} \cdot {(1 - p)}^{n - m}

, kur

C_{n}^{m} = \frac{n!}{m! (n - m)!}

Aplūkosim vēlreiz piemēru par melnajām bumbiņām.

Tā kā mēs jau varbūtības esam noteikuši, pārbaudīsim, vai tās atbilst Bernulli formulai.

$X = x_{i}$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P (X = x_{i})$	${C_{3}^{0} \cdot {(\frac{5}{11})}^{0} (\frac{6}{11})}^{3}$	${C_{3}^{1} \cdot {(\frac{5}{11})}^{1} (\frac{6}{11})}^{2}$	${C_{3}^{2} \cdot {(\frac{5}{11})}^{2} (\frac{6}{11})}^{1}$	${C_{3}^{3} \cdot {(\frac{5}{11})}^{3} (\frac{6}{11})}^{0}$

Redzam, ka varbūtību vērtības sakrīt. Atrisināsim uzdevumu līdz galam. Gadījuma lieluma $X$ sadalījuma likumu izsaka šāda tabula:

$X = x_{i}$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P (X = x_{i})$	$\frac{216}{1331}$	$\frac{540}{1331}$	$\frac{450}{1331}$	$\frac{125}{1331}$

Neaizmirstam pārbaudīt, vai

\sum_{i = 1}^{4} p_{i} = 1

\frac{216}{1331} + \frac{540}{1331} + \frac{450}{1331} + \frac{125}{1331} = \frac{1331}{1331} = 1

Ievēro!

Binomiālo sadalījumu var uzrādīt tabulas veidā. Šajā nolūkā tabulas pirmajā ailē uzrāda gadījuma lieluma $X$ visus $m$ variantus: $0$; $1$; $2$; …; $n-1$; $n$. Skaitlis $n$ ir neatkarīgo mēģinājumu skaits. Otrajā ailē uzrāda to varbūtības, kuras var aprēķināt ar Bernulli formulu vai arī izmantojot Ņūtona binomu (skat. nākamo teoriju).

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

ONLINE VIDEO KURSS

"MATEMĀTIKA 11. KLASEI"

PALĪGSMĀCĪBĀS.LV

8. Binominālais sadalījums

Teorija