27.
maijā
Eksāmens MATEMĀTIKĀ 9.KLASEI
Trenējies ŠEIT!

Teorija

Izzināsim, kā binomiālais sadalījums ieguvis savu nosaukumu.
Atrisināsim uzdevumu.
 
Loka šāvējs gatavojas veikt trīs šāvienus. Zināms, ka loka šāvējs trāpa mērķī ar varbūtību \(p\) (varbūtība netrāpīt ir \(q = 1 – p\)).
Noskaidrosim, kāda varbūtība, ka trāpīs xi šāvienos (xi iespējamās vērtības ir \(0\); \(1\); \(2\) un \(3\)).
 
Risinājums
Izveidojam gadījuma lieluma \(X\) sadalījuma likuma tabulu.
Pirmā rindā ierakstām \(X\) dotās vērtības.
X=xi
\(0\)
\(1\)
\(2\)
\(3\)
PX=xiq33pq23p2qp3
 
Nosakām atbilstošās varbūtības, ierakstām tabulas otrā rindā:
PX=0=qqq=q3
PX=1=pqq+qpq+qqp=3pq2
PX=2=ppq+qpp+pqp=3p2q
PX=3=ppp=p3
 
Tā kā i=1npi=1, tad
q3+3pq2+3p2q+p3=1p+q3=1
 
Esam ieguvuši binoma kubu. Ja būtu \(n\) šāvieni, tad varbūtību summa veidotu binoma \(n\)-to pakāpi: p+qn=1, kur \(n\) ir neatkarīgo mēģinājumu skaits.
Ja uzmanīgi paskatāmies Bernulli formulu P(X=m)=Cnmpmqnm, redzam, ka varbūtības ir Ņūtona binoma izvirzījuma locekļi.
 
Ņūtona binoma formula:
a+bn=m=0nCnmambnm,
Atceries, ka binomiālkoeficientus Cnm viegli aprēķināt, izmantojot Paskāla trijstūri.
  
Kopsavilkums
Ar binomiālo sadalījumu sastopamies, ja nepieciešams novērtēt atkārtotu mēģinājumu varbūtības, turklāt katrā mēģinājumā tiek fiksēta tikai viena no atbildēm - ''jā'' vai ''nē''.  Ja ir \(n\) mēģinājumi, varam konstatēt notikuma iestāšanos jeb atbildi ''jā'' \(0\) reizes, \(1\) reizi, ..., \(m\) reizes ,..., \(n-1\) reizi, \(n\) reizes.
Binomiālo sadalījumu var uzrādīt tabulas veidā. Šajā nolūkā tabulas pirmajā ailē uzrāda gadījuma lieluma \(X\) visus \(m\) variantus: \(0\); \(1\); \(2\); …; \(n-1\); \(n\). Otrajā ailē uzrāda to varbūtības kā Ņūtona binoma q+pn izvirzījuma locekļus, kur \(n\) ir neatkarīgo mēģinājumu skaits.
 
Uzziņai Paskāla trijstūris.
paskāls2.bmp
 
Pask3.bmp
  
  
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa
Skola2030 kursu materiāli