27.
maijā
Eksāmens MATEMĀTIKĀ 9.KLASEI
Trenējies ŠEIT!

Teorija

Binomiālajam varbūtību sadalījumam ir vienkārša sagaidāmās vērtības formula. Aplūkosim piemēru.
Piemērs:
Monētu met trīs reizes. Gadījuma lielums \(X\) ir cipara uzkrišanas skaits. Nosaki sagaidāmo vērtību!
Notikums \(A\) - "uzkrīt cipars".
Risinājums
Notikuma \(A\) iestāšanās varbūtība vienā mēģinājumā p=12.
Neatkarīgo mēģinājumu skaits \(n=3\).
Gadījuma lieluma \(X\) iespējamās vērtības ir \(0\); \(1\); \(2\); \(3\).
 
Gadījuma lieluma \(X\) sadalījuma likuma (tabulas) atrašana un E(X) rēķināšana ar summas formulu būtu laikietilpīgs process. Tāpēc to nedarīsim.
 
Ir pierādīts - ja gadījuma lielums ir sadalīts binomiāli, gadījuma lieluma \(X\) sagaidāmā vērtība irE(X)=np. Tātad E(X)=212=1.
Vari pārbaudīt, vai ar sagaidāmās vērtības formulu var iegūt tādu pašu rezultātu.
 
Aplūkosim ideju, kā pierāda binomiāla varbūtību sadalījuma sagaidāmās vērtības formulu.
  
Pierādi – ja binomiālam varbūtību sadalījumam vērtību skaits ir \(2\), tad sagaidāmo vērtību aprēķina ar formulu \(E(X)=2p\), kur \(p\) – labvēlīga notikuma iestāšanās varbūtība.
 
Noskaidrosim, ko zinām par sagaidāmo vērtību un binomiālo varbūtību sadalījumu.
1) Par diskrēta gadījuma lieluma sagaidāmo vērtību (jeb matemātisko cerību) sauc skaitli
EX=i=1nxipi
 
2) Lai aprēķinātu varbūtību, ka notikums \(A\) iestāsies \(n\) mēģinājumos tieši \(m\) reizes, var izmantot Bernulli formulu.
PX=m=Cnmpmqnm, kur \(q=1-p\).
 
3) Zinām, ka varbūtības, kuras aprēķina ar Bernulli formulu, ir Ņūtona binoma izvirzījuma locekļi.
 
Ja \(n=2\), gadījuma notikumam \(X\) ir trīs gadījumi: (x1=0;x2=1;x3=2;) un atbilstošās varbūtības ir sekojošas:
1q2;2qp;1p2
 
Ievietosim gadījuma notikuma \(X\) vērtības un to varbūtības sagaidāmās vērtības \(E(X) \) formulā:
E(X)=0q2+12qp+2p2==21pp+2p2==2p2p2¯+2p2¯==2p
Esam pierādījuši, ka
ja binomiālam varbūtību sadalījumam vērtību skaits ir \(n=\)\(2\), tad sagaidāmo vērtību aprēķina ar formulu \(E(X)=2p. \)
Pierādi – ja binomiālam varbūtību sadalījumam vērtību skaits ir \(3\), tad sagaidāmo vērtību aprēķina ar formulu \(E(X)=\)\(3p\), kur \(p\) – labvēlīga notikuma iestāšanās varbūtība.
 
Tā kā \(n=3\), tad Ņūtona binoma locekļi ir
1q3;3q2p;3p2q;1p3, kur q=1p.
 
Ja \(n=3\), gadījuma notikumam \(X\) ir četri varianti: x1=0;x2=1;x3=2;x4=3.
E(X)=0q3+13q2p+23qp2+3p3==3pq2+6qp2+3p3==31p2p+61pp2+3p3==3p12p+p2+6p26p3+3p3==3p6p2¯+3p3¯¯+6p2¯6p3+3p3¯¯==3p
 
Tātad esam pierādījuši,
ja binomiālam varbūtību sadalījumam vērtību skaits ir \(n=\)\(3\), tad sagaidāmo vērtību aprēķina ar formulu \(E(X)=3p\).
Var pierādīt vispārinājumu:
ja binomiālam varbūtību sadalījumam vērtību skaits ir \(n\), tad sagaidāmo vērtību aprēķina ar formulu \(E(X)=np.\)
 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa