Teorija

Tilpums rotācijas ķermenim, kuru nosaka divas funkcijas.
 
Pieņemsim, ka kāda figūra, kuru definē funkcija \(f(x)\) un \(g(x)\) rotē ap \(Ox\) asi.
1 (3).svg
 
Katrs šo funkciju šķēluma laukuma punkts rotē ap \(Ox\) asi un rodas telpiska figūra ar izdobtu vidu.
 
2 (3).svg
 
Tilpumu rotācijas ķermenim, kas rodas, rotējot ap \(Ox\) asi figūrai, kuru ierobežo līnijas \(f(x)\) un \(g(x), \)aprēķina kā divu ķermeņu tilpumu starpību.
 V=abπf2(x)dxabπg2(x)dx=πabf2(x)g2(x)dx
Piemērs:
Aprēķini tilpumu rotācijas ķermenim, kas rodas, rotējot ap Ox asi figūrai, ko ierobežo līnijas y=x2,y=2x.
 
Risinājums.
Skicē grafikus, lai iegūtu figūru, kura rotē ap \(Ox\) asiAbi grafiki krustojas punktos \((0;0)\) un \((2;2\)), šos punktus var nolasīt no grafika vai arī atrisina vienādojumu:
x2=2xx22x=0x=0;x=2
Ievēro, ka ārējo ķermeņa virsmu nosaka funkcija \(y=2x\), bet iekšējo virsmu nosaka y=x2.
Tātad 
V=π024x2x4dx==π4x33x5520==π3233250=32π1315=64π15 
Atbilde: Rotācijas ķermeņa tilpums ir 6415π tilpuma vienības.
 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa
Skola2030 kursu materiāli