Kolineāri vektori telpā — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika I.

ONLINE VIDEO KURSS

"MATEMĀTIKA 10. KLASEI"

Divus vektorus sauc par kolineāriem, ja tie atrodas uz vienas taisnes vai uz paralēlām taisnēm.

Kolineārus vektorus pieraksta tāpat kā pieraksta paralēlas taisnes vai nogriežņus:

\vec{a} ∥ \vec{b}

ABCD A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

ir kubs. Nosauc trīs vektorus, ka ir kolineāri ar vektoru

\vec{B_{1} B}

Izvēlamies vektorus, kuri atrodas uz kuba paralēlajām šķautnēm

\begin{array}{l} \vec{B_{1} B} ∥ \vec{A_{1} A} \\ \vec{B_{1} B} ∥ \vec{{A A}_{1}} \\ \vec{B_{1} B} ∥ \vec{D_{1} D} \end{array}

Pazīme: Divi vektori ir kolineāri, ja to atbilstošās koordinātas ir proporcionālas:

\frac{a_{x}}{b_{x}} = \frac{a_{y}}{b_{y}} = \frac{a_{z}}{b_{z}} = λ

Var teikt arī tā: vektori

\vec{a}

\vec{b}

ir kolineāri tad un tikai tad, ja eksistē tāds skaitlis

λ

, ka

\vec{a} = λ \vec{b}

(vektoru koordinātas atšķiras ar vienu un to pašu reizinātāju

λ

)

Piemērs:

Vektori

\vec{a} = (3; - 12; 30)

\vec{b} = (- 1; 4; - 10)

ir kolineāri, jo

\frac{3}{- 1} = \frac{- 12}{4} = \frac{30}{- 10} = - 3

. Tātad

\vec{a} = - 3 \vec{b}

vai arī

\vec{b} = - \frac{1}{3} \vec{a}

Aplūkosim pielietojumu.

Piemērs:

Telpā doti trīs punkti \(M(1;2;3)\), \(K(5;3;2)\) un \(L(9;4;1)\). Pierādi, ka šie punkti atrodas uz vienas taisnes.

Punkti \(M\), \(K\) un \(L\) atrodas uz vienas taisnes, ja

\vec{MK}

\vec{ML}

ir kolineāri.

Kolineāri vektori atrodas uz vienas vai paralēlām taisnēm, bet kopīgais sākumspunkts \(M\) nodrošina to, ka tie atradīsies uz vienas taisnes.

Aprēķinām vektoru koordinātas:

\begin{array}{l} \vec{MK} = (5 - 1; 3 - 2; 2 - 3) = (4; 1; - 1) \\ \vec{ML} = (9 - 1; 4 - 2; 1 - 3) = (8; 2; - 2) \end{array}

Pārbaudām, vai vektori ir kolineāri:

\frac{4}{8} = \frac{1}{2} = \frac{- 1}{- 2}

Secinājums: vektori ir kolineāri

\vec{MK} ∥ \vec{ML}

, tātad punkti \(M\), \(K\), \(L\) atrodas uz vienas taisnes.

Atkārto arī kolineāru vektoru izmantošanu plaknē

Atradi kļūdu?

ONLINE VIDEO KURSS

"MATEMĀTIKA 10. KLASEI"

6. Kolineāri vektori telpā