Kā atrisināt kvadrātvienādojumu? (Diskriminants) — teorija. Matemātika (Skola2030), 9. klase.

Jebkuru kvadrātvienādojumu (arī nepilno) var atrisināt, izmantojot diskriminantu.

Diskriminants no latīņu valodas nozīme "tas, kas atšķir", ko apzīmē ar lielo burtu $D$.

Diskriminants ir vienādojuma raksturojums, pēc kura var spriest par vienādojuma sakņu skaitu.

Var teikt, ka vienādojumus "diskriminē" - sadala tos, atkarība no diskriminanta vērtības.

Mēģināsim saprast un iemācīties kā pielietot diskriminantu kvadrātvienādojuma

a x^{2} + bx + c = 0

aprēķināšanai.

Kvadrātvienādojuma risināšanas algoritms:

1. Noteikt kvadrātvienādojuma koeficientus $a$, $b$ un $c$.

2. Aprēķināt kvadrātvienādojuma diskriminantu pēc formulas:

D = b^{2} - 4 ac

3. Izmanto tabulu:

	$D>0$	$D=0$	$D<0$
Saka vienkārši	ir divas saknes	ir viena sakne	nav sakņu
***** Saka matemātiski pareizi**	ir divas dažādas saknes	ir divas vienādas saknes	nav reālu sakņu (divas kompleksas saknes)
Aprēķina	$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a}$ $x_{2} = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a}$	$x = \frac{- b}{2 a}$ (ja $D=0$, tad nav jēgas to pieskaitīt un atņemt)	$x \in \emptyset$ (jo nevar izvilkt sakni no negatīva $D$)

*** Ja tu gribi zināt vairāk!

Kvadrātvienādojums ir otras kārtas vienādojums. Vienādojumu sakņu skaitu nosaka vienādojuma pakāpe. Piemēram, trešās kārtas vienādojumam būs trīs saknes, ceturtās - četras utt. Pagaidām mēs vēl neesam iemācījušies tādus jēdzienus kā kompleksie skaitļi un citus, lai saprastu, kur divas saknes atrodas katrā situācija, bet jau varam lietot matemātiski pareizo terminoloģiju!

Lai tev būtu vieglāk risināt kvadrātvienādojumu, vari saglabāt sev atgādni:

YCUZD_221012_4544_kvadratvienadojums (1).svg

Piemērs:

Atrisini kvadrātvienādojumu

x^{2} - 4 x - 5 = 0

Atrisināt vienādojumu nozīmē atrast vienādojuma saknes!

1. Nosakām vienādojuma koeficientus:

$a=1$, $b=-4$, $c=-5$

2. Aprēķinām diskriminantu:

D = b^{2} - 4 ac = {(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5) = 16 + 20 = 36

3. Aprēķinām saknes. $D>0$, tātad vienādojumam ir divas dažādas saknes:

x_{1} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} = \frac{4 + 6}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5

Ievēro, ka aprēķinot saknes, koeficientu $b$ ņem ar pretējo zīmi!

x_{2} = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} = \frac{4 - 6}{2 \cdot 1} = \frac{- 2}{2} = - 1

Atbilde:

x_{1} = 5, x_{2} = - 1

Piemērs:

Atrisini kvadrātvienādojumu $x^{2} - 4 x + 4 = 0$ !

1. Nosakām vienādojuma koeficientus:

$a=1$, $b=-4$, $c=4$

2. Aprēķinām diskriminantu:

D = b^{2} - 4 ac = {(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0

3. Aprēķinām saknes. $D=0$, tātad vienādojumam ir divas vienādas saknes:

x = \frac{4 + \sqrt{0}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 0}{2} = \frac{4}{2} = 2

Nav jēgas apskatīt otru situāciju, kur jāatņem nulle, kā arī nav jēgas rakstīt sakni no nulles!

Īsākais pieraksts:

x = \frac{4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2

Atbilde:

x = 2

Piemērs:

Atrodi vienādojuma

4 x^{2} + 3 x + 5 = 0

saknes!

1. Nosakām vienādojuma koeficientus:

$a=4$, $b=3$, $c=5$

2. Aprēķinām diskriminantu:

D = b^{2} - 4 ac = 3^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 9 - 80 = - 71

3. Aprēķinām saknes. $D<0$, tātad vienādojumam nav reālu sakņu.

Atbilde:

x \in \emptyset

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

2. Kā atrisināt kvadrātvienādojumu? (Diskriminants)

Teorija