Par vienādojumu ar diviem mainīgajiem sauc vienādību, kurā ir divi nezināmie (mainīgie).
Piemērs:
\(a + b = 9\) - mainīgie ir \(a\) un \(b\).
\(2·x - 6·y = 12\) - mainīgie ir \(x\) un \(y\).
Par lineāru jeb pirmās pakāpes vienādojumu ar diviem mainīgajiem \(x\) un \(y\) sauc vienādojumu, ko var uzrakstīt formā \(a·x + b·y= c,\) kur \(a, b\) un \(c\) ir skaitļi.
Piemēram, \(1,5x - 4y = 9\), \(3x + 2y = 0,5\), \(x = y\) ir lineāri vienādojumi ar diviem mainīgajiem.
Par vienādojumu ar diviem mainīgajiem atrisinājumu sauc jebkuru sakārtotu skaitļu pāri (\(x\); \(y\)), ar kuru vienādojums kļūst par patiesu vienādību.
Sakārtots skaitļu pāris nozīmē, ka pirmā tiek pierakstīta \(x\) vērtība, otrā - \(y\) vērtība!
Ja piemērā ir doti citi mainīgie, tos pieraksta alfabētiskā secībā.
Piemēram, \(3·x + 2·y = 14\) atrisinājums ir skaitļu pāris \((2; 4)\) , jo \(3·2 + 2·4 = 14.\)
Vienādojumam ar diviem mainīgajiem var būt bezgalīgi daudz atrisinājumu.
Lai aprēķinātu kādu no mainīgajiem, vienādojumā ievieto doto mainīgo un aprēķina otra mainīgā vērtību.
Jāatceras:
-
vienādojuma abām pusēm var pieskaitīt vai atņemt vienu un to pašu skaitli;
-
vienādojuma abas puses var reizināt vai dalīt vienu un to pašu skaitli, kas nav vienāds ar nulli;
-
pārnesot kādu saskaitāmo no vienas vienādojuma puses uz otru pusi, tā zīme ir jāmaina uz pretējo.
Piemēram, no vienādojuma \(3·x - 2·y = 12\) izsaki \(y\) un aprēķini \(x\) vērtību, ja \(y = 1,5!\)
Dotajā vienādojumā \(y\) vietā ievieto \(1,5\) un aprēķina \(x\) vērtību:
Tātad dotā vienādojuma atrisinājums ir skaitļu pāris \((5; 1,5).\)
Protams, vienādojumam ir bezgalīgi daudz atrisinājumu, jo \(x\) un \(y\) vietā var ievietot jebkuru skaitli!
Vienādojumu ar diviem mainīgajiem var atrisināt arī grafiski, tad tā atrisinājumi ir jāattēlo koordinātu plaknē. Vienādojuma atrisinājumi ir punktu kopa jeb līnija, kas veidojas no skaitļu pāriem \(x\) un \(y\).
Jāatceras, ka atrisinājumi ne vienmēr ir veseli skaitļi. Atrisinājums var būt jebkurš punkts, kas pieder dotā vienādojuma grafikam.
Lineāra vienādojuma ar diviem mainīgajiem grafiks ir taisne.
Piemēram, atrisināt grafiski vienādojumu \(3·x + 2·y = 6\)
Vispirms no vienādojuma izsaka mainīgo \(y:\)
Lai uzzīmētu vienādojuma grafiku, izveidojam vērtību tabulu, kurā \(x\) vērtības brīvi izvēlamies,
bet \(y\) vērtības aprēķinām, izmantojot iegūto formulu:
|
\(x\)
|
\(-1\)
|
\(0\)
|
\(1\)
|
\(2\)
|
|
\(y\)
|
\(4,5\)
|
\(3\)
|
\(1,5\)
|
\(0\)
|
Koordinātu plaknē atliek iegūtos punktus un novelk taisni:
Dotā vienādojuma visi atrisinājumi atrodas uz taisnes. Tātad uzzīmētā taisne ir šī vienādojuma atrisinājums!
Svarīgi!
Atceries, ka reizināšanas zīmi starp koeficientu un mainīgo var nerakstīt! Pierakstā \(2x\) ir tas pats kā \(2·x\).