13. Ķermeņu inerces momenta proporcionalitātes koeficients

Kā zināms, rotējoša ķermeņa inerces moments ir proporcionāls masas un rotācijas rādiusa kvadrāta reizinājumam $I\sim m\cdot R^2$. Proporcionalitātes koeficients ir atkarīgs no ķermeņa formas.
Ķermenim, ripojot no slīpās plaknes bez sākuma ātruma, izpildās mehāniskās enerģijas nezūdamības likums

 

$\mathit{mgh}=\frac{m{v}^2}{2}+\frac{I{w}^2}{2}$, kur

\(m\) — ķermeņa masa,

\(h\) – slīpas plaknes augstums, 

\(v\) — ķermeņa lineārais ātrums slīpas plaknes beigās, 

\(I\) — inerces moments, 

\(w\) — ķermeņa rotācijas leņķiskais ātrums slīpas plaknes beigās.

 

No tā izriet $I=\frac{\mathit{2mgh}-m{v}^2}{w^2}$.

 

Ievērojot, ka leņķiskais ātrums un lineārais ātrums ir saistīti formulā $v=\mathit{wR}\Rightarrow w=\frac{v}{R}$, un, apvienojot formulas, iegūst:

 

$I=\frac{m\cdot (2\mathit{gh}-v^2)}{{(\frac{v}{R})}^2}=\frac{m{R}^2\cdot (2\mathit{gh}-v^2)}{v^2}=m{R}^2\cdot (\frac{2\mathit{gh}}{v^2}-1)$.

Pieņemot, ka ķermeņa kustība pa slīpo plakni ir vienmērīgi paātrināta, un izmantojot formulu lineārā ātruma aprēķināšanai $v=\frac{2\cdot l}{t}$, kur $l$ — slīpās plaknes garums, var iegūt:

 

$I=m{R}^2\cdot (\frac{2\mathit{gh}}{{(\frac{2l}{t})}^2}-1)=m{R}^2\cdot (\frac{\mathit{gh}{t}^2}{2l^2}-1)$, kur

 

$\frac{\mathit{gh}{t}^2}{2l^2}-1$ ir proporcionalitātes koeficients \(k\), kas nosaka ķermeņa formu.