Prasme: Lieto zināšanas analītiskajā ģeometrijā praktiskos kontekstos, piemēram, objektu navigācija uz ūdens vai gaisā.
Uzdevums
Garuma vienība ir \(1\) km. Vektors \((1; 0)\) norāda pārvietojumu uz austrumiem, bet vektors \((0; 1)\) norāda pārvietojumu uz ziemeļiem.
Zīmējumā parādīts naftas tankkuģa Aristides ceļš attiecībā pret Orto ostu, kas atrodas punktā \((0; 0).\) Pārvietošanās laikā tankkuģa Aristides koordinātas nosaka sākuma stāvokļa koordinātas \((0; 28)\) un pārvietojuma vektors stundas laikā. Laiks ir stundu skaits pēc pulksten \(12.00. \)
a) Nosaki tankkuģa Aristides atrašanās vietas koordinātas pulksten \(13.00. \)
b) Uzraksti tankkuģa Aristides ceļa vienādojumu formā .
Zināms, ka kravas kuģis Boadicea ir nekustīgs punktā ar koordinātēm \((18; 4). \)
Ar aprēķiniem parādi, ka abi kuģi sadursies, ja netiks mainīti nosacījumi, un nosaki sadursmes laiku. Lai izvairītos no sadursmes, kravas kuģis Boadicea pulksten \(13.00\) sāk pārvietoties par vektoru stundas laikā.
c) Nosaki attālumu starp abiem kuģiem pulksten \(15.00\)
Risinājums
a) Aprēķina tankkuģa Aristides atrašanās vietas koordinātas pulksten \(13.00\).
Ja sākuma stāvokļa koordinātas ir \((0; 28)\) un pārvietojuma vektors stundas laikā ir , tad pēc stundas koordinātas būs:
, kas ir .
b) Uzraksta tankkuģa Aristides ceļa vienādojumu.
Pārvietojuma vektors šajā gadījumā ir taisnes virziena vektors.
Ja taisne iet caur punktu un tās virziena vektors , tad vienādojums kanoniskā formā ir .
Kuģa trajektorija ir taisne, jo virziena vektors ir nemainīgs. Šai taisnei pieder punkts \((0;28). \)
Tātad
Vienādojumu taisnei var atrast arī citā veidā, izmantojot vienādojumu taisnei, kas vilkta caur diviem punktiem:
Izmanto abas koordinātas: \((0;28)\) un \((6;20). \)
Iegūtie vienādojumi neatšķiras.
Tankkuģa Aristides ceļa vienādojumu formā ir .
Zināms, ka kravas kuģis Boadicea ir nekustīgs punktā ar koordinātēm \((18; 4). \)
Lai pierādītu, ka abi kuģi sadursies, jāparāda, ka kuģis Boadicea atrodas uz Aristides trajektorijas.
Tātad jāpierāda, ka punkts ar koordinātām \((18;4)\) pieder taisnei .
Lai noteiktu laiku, pietiek sastādīt vienādojumu vienai no koordinātēm, ja \(t\) - laiks stundās:
vai
Atbilde: sadursme notiktu pēc \(3\) stundām.
c) Nosaka attālumu starp abiem kuģiem pulksten \(15.00.\)
1) Tankkuģis Aristide sāk pārvietoties \(12.00\), tātad līdz \(15.00\) pagājušas \(3\) stundas.
Aprēķinām, kādas ir koordinātas pēc \(3\) stundām:
, tas ir \(A(18; 4)\)
Kaut mēs jau zinājām, ka tieši šajā punktā pēc \(3\) stundām atradīsies šis kuģis.
2) Kuģis Boadicea ar koordinātām \((18; 4)\) sāk pārvietoties pulksten \(13.00\) par vektoru stundas laikā.
Tātad līdz \(15.00\) pārvietojas \(2\) stundas.
Aprēķina koordinātas:
, tas ir \(B(48; 28).\)
Atrod attālumu starp punktiem \(A(18; 4)\) un \(B(48; 28).\)
Uzrakstām vektoru:
Aprēķina vektora garumu:
ja rezultātu noapaļotu līdz veseliem skaitļiem.
Atbilde: attālums starp abiem kuģiem pulksten \(15.00\) būs .
Atbildi nenoapaļojam, jo uzdevumā tas nav norādīts un nav dota vēlamā precizitāte. Navigācijā noapaļošanas kļūdas var radīt traģiskas sekas :).