Eksāmena parauguzdevums. NEBŪS 2023. GADA EKSĀMENĀ!
Standarta prasme Nr. M.A.4.1.1. Valsts pārbaudes darba programmas indikators 3.11. Spriež, formulē pieņēmumu par rekurenti uzdotas virknes vispārīgā locekļa formulu un to pierāda.
Piemērs:
Dota virkne .
1) (2 punkti) Izsaki dotās virknes vispārīgo locekli formā , kur \(a(a>0) \) un \(b\) ir reāli skaitļi.
2) (3 punkti) Pierādi dotās virknes vispārīgā locekļa formulu, lietojot matemātisko indukciju.
Risinājums
Virknes pirmie locekļi ir:
, pēc dotā.
Jāatrod likumsakarību, lai . Ievērojam, ka \(a>0,\) bet par parametru \(b\) tas nav teikts, tātad \(b\) var būt arī negatīvs skaitlis.
Var ievērot, ka
Izvirzām hipotēzi par virknes vispārīgā locekļa formulu: .
Tātad \(a=2, b=-1.\)
Pierādām hipotēzi ar matemātisko indukciju.
1) Indukcijas bāze: - izpildās (pēc dotā).
2) Induktīvais pieņēmums: pieņemu, ka formula ir pareiza, ja \(n=k\), tas ir .
3) Induktīvā pāreja: jāpierāda, ka tādā gadījumā formula ir pareiza arī nākamajam \(n=k+1\), t.i., ka .
Izmantosim doto rekurences formulu: un pielietosim induktīvo pieņēmumu par .
Induktīvā pāreja ir pierādīta: .
4) Secinājums. Tātad virknes vispārīgā locekļa formula ir patiesa visām vērtībām.
Snieguma līmeņa apraksts 28.2. uzdevumam
| Veido pierādījumu, izmantojot MIP | Korekti veic kādu no MIP soļiem, piemēram, pamato indukcijas bāzi vai demonstrē izpratni par MIP soļu saistību, bet pamatojums satur nozīmīgas loģikas vai algebras kļūdas. | Kopumā pierāda prasīto ar MIP, saista pierādījuma soļus, bet ir atsevišķas nepilnības, piemēram, induktīvās pārejas pamatojumā kļūda algebriskajos pārveidojumos, loģikā vai jēdzienu lietojumā, neuzraksta secinājumu. | Pilnīgi un precīzi pierāda prasīto, lietojot MIP, veido pamatotus un secīgi saistītus apgalvojumus, uzraksta secinājumu. |
1 punkts | 2 punkti | 3 punkti |
Uzziņa
Matemātiskās indukcijas princips.
Ja izteikums \(𝐴(𝑛)\) ir patiess gadījumā, kad \(𝑛 = 1\), un ja no šī izteikuma patiesuma jebkuram skaitlim \(𝑛 = 𝑘\) izriet, ka tas ir patiess skaitlim \(𝑛 = 𝑘 + 1\), tad izteikums \(𝐴(𝑛)\) ir patiess jebkuram skaitlim \(𝑛\).
1) Indukcijas bāze: pārbauda, vai \(A(1)\) ir patiess \((n=1). \)
2) Induktīvais pieņēmums: pieņem, ka \(A(k)\) ir patiess \((n=k). \)
3) Induktīvā pāreja: pierāda, ka tādā gadījumā arī \(A(k+1)\) ir patiess \((n=k+1). \)
4) Secinājums: secina, ka \(A(n)\) ir patiess visām naturālām \(n\) vērtībām.