4. daļas 3. uzd. Ar MIP pierāda izteiksmes dalīšanos — uzdevums. Eksāmens un diagnosticējošais darbs matemātikā, Matemātika II (Augstākais līmenis).

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"

Pierādi, ka izteiksmes

10^{n} + 2^{2 n} + 1

vērtība dalās ar $3$ visiem $n \in ℕ$ .

Uzdevumi.lv Tev piedāvā papildināt pierādījumu!

Doto apgalvojumu apzīmē ar $A(n)$.

1) Indukcijas bāze

Ja $n=1$, tad

10^{1} + 2^{2 \cdot 1} + 1 = i

, dalās ar $3$.

Apgalvojums ir patiess.

2) Induktīvais pieņēmums

Pieņemam, ka apgalvojums $A(k)$ ir patiess, t.i.,

10^{k} + 2^{2 k} + 1

dalās ar $3$.

3) Induktīvā pāreja

Pārbaudīsim, vai ir patiess apgalvojums $A(k+1)$, t.i., pārbaudīsim vai

10^{k + 1} + 2^{2 (k + 1)} + 1

dalās ar $3$.

10^{k + 1} + 2^{2 (k + 1)} + 1 =

i \cdot 10^{k} + i \cdot 2^{2 k} + 1

Pārveidojam šo izteiksmi tā, lai varētu izmantot induktīvo pieņēmumu:

\underline{10^{k} + 2^{2 k} + 1} + i {\cdot 10}^{k} + i \cdot 2^{2 k} =

= \underline{10^{k} + 2^{2 k} + 1} + 3 (i {\cdot 10}^{k} + i \cdot 2^{2 k})

Redzam, ka pirmais saskaitāmais dalās ar $3$

Arī otrais un trešais saskaitāmais dalās ar $3$, jo

tātad

Atbilžu varianti:

viens no reizinātājiem ir $27$

ievērojot induktīvo pieņēmumu

arī summa dalās ar $3$

Secinājums

Gan indukcijas bāze, gan pāreja ir pierādītas.

Redzam, ka no izteikuma $A(k)$ patiesuma seko $A(k+1)$ patiesums.

Esam pierādījuši $A(n)$ patiesumu visām $n$ vērtībām.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

https://www.viaa.gov.lv Centralizētais eksāmens matemātikā (augstākais mācību satura apguves līmenis), 2025

Ieiet portālā vai Reģistrēties

Atradi kļūdu?

Lai iesniegtu atbildi un redzētu rezultātus, Tev nepieciešams autorizēties. Lūdzu, ielogojies savā profilā vai reģistrējies portālā!

Ieiet portālā vai Reģistrēties

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"

20. 4. daļas 3. uzd. Ar MIP pierāda izteiksmes dalīšanos