Ar matemātiskās indukcijas metodi pierādi, ka , kur .
Risinājums
Apzīmēsim doto apgalvojumu ar \(A(n)\).
1) Indukcijas bāze. Pārbaudām, vai izpildās \(A(1)\).
Ja \(n=1\), tad . Redzams, ka vienādība ir patiesa .
2) Induktīvais pieņēmums. Pieņemsim, ka fiksētam naturālam skaitlim \(k\) apgalvojums \(A(k)\) ir patiess, t.i.,
.
3) Induktīvā pāreja. Izmantojot induktīvo pieņēmumu, pierādīsim atsevišķo apgalvojumu \(A(k+1)\):
Aplūkojam vienādības kreiso pusi.
Izmantojot induktīvo pieņēmumu, iegūst:
Vienādojot saucējus, iegūst:
Pārveidojot skaitītāju, iegūst:
Saīsinot daļu, iegūst:
Redzam, ka iegūtā izteiksme ir vienāda ar pierādāmās vienādības \(A(k+1)\) labo pusi.
Secinājums
Gan indukcijas bāze, gan pāreja ir pierādītas.
Tāpēc pēc matemātiskās indukcijas principa vispārīgais apgalvojums \(A(n)\) ir pierādīts.
jebkuram .
Lai iesniegtu atbildi un redzētu rezultātus, Tev nepieciešams autorizēties. Lūdzu, ielogojies savā profilā vai reģistrējies portālā!
