Kustība pa upi. Nevienādība — teorija. Eksāmens un diagnosticējošais darbs matemātikā, Matemātika I (Optimālais līmenis).

ONLINE VIDEO KURSS

"MATEMĀTIKA 11. KLASEI"

Upes straumes virzienā atrodas trīs piestātnes – $𝐴$, $𝐵$ un $𝐶$, turklāt attālums starp $𝐴$ un $𝐵$ ir $12$ km, attālums starp $𝐵$ un $𝐶$ – $24$ km (sk. attēlu).

No piestātnes $𝐵$ uz piestātni $𝐶$ devās plosts, kurš pārvietojās ar upes straumes ātrumu 4 km/h. Vienlaikus ar plostu no piestātnes $𝐵$ tajā pašā virzienā kustību sāka kuteris, kurš sasniedza piestātni $𝐶$, apgriezās un devās līdz piestātnei $A$. Kādam jābūt kutera ātrumam stāvošā ūdenī, lai tas piestātnē $A$ nonāktu vēlāk nekā plosts piestātnē $C$?

Risinājums

$x$... tik km/h ir kutera ātrums stāvošā ūdenī.

Lai izprastu objektu kustību, izveidosim skices:

1) Plosta kustības ātrums no $B$ uz $C$ sakrīt ar straumes ātrumu.

2) Kutera ātrums no $B$ uz $C$ ir pa straumei, tāpēc kutera ātrumam stāvošā ūdenī pieskaita straumes ātrumu.

Tā kā kuteris no $C$ uz $A$ kustas pretēji straumei, tad no kutera ātruma stāvošā ūdenī atņem straumes ātrumu.

Skices papildinām ar dotajiem lielumiem.

Plosta kustība:

Kutera kustība:

Izveido tabulu.

	$s\ $(km)	$v\ $(km/h)	$t\ $(h), $t = \frac{s}{v}$
plosts $B-C$	24	4	$\frac{24}{4} = 6$
kuteris $B-C$	24	$x+4$	$\frac{24}{x + 4}$
kuteris $C-A$	36	$x-4$	$\frac{36}{x - 4}$

Sastādam nevienādību, izmantojot kustības laiku.

Pēc dotā

t_{kut .} > t_{pl .}

\begin{array}{l} \frac{24}{x + 4} + \frac{36}{x - 4} > 6 | : 6 \\ \frac{4}{x + 4} + \frac{6}{x - 4} > 1 \\ \frac{4^{x - 4}}{x + 4} + \frac{6^{x + 4}}{x - 4} - \frac{1^{(x - 4) (x + 4)}}{1} > 0 \\ \frac{4 (x - 4) + 6 (x + 4) - (x^{2} - 16)}{(x + 4) (x - 4)} > 0 \\ \frac{4 x - 16 + 6 x + 24 - x^{2} + 16}{(x + 4) (x - 4)} > 0 \\ \frac{- x^{2} + 10 x + 24}{x^{2} - 16} > 0 \end{array}

Ieguvām daļveida nevienādību, kuru atrisināsim ar intervālu metodi.

Nosaka robežpunktus, kuros daļa maina zīmi.

\begin{array}{l} - x^{2} + 10 x + 24 = 0 \\ x = - 2 \\ x = 12 \\ x^{2} - 16 \neq 0 \\ x \neq 4 \\ x \neq - 4 \end{array}

Kutera ātrumam jābūt pozitīvam, tāpēc par atbildi der tikai intervāls

x \in (4; 12)

Atbilde: Kutera ātrumam stāvošā ūdenī jābūt lielākam nekā $4$ km/h un mazākam nekā $12$ km/h.

Vērtēšanas kritēriji

1 punkts.	Izvēlas mainīgo lielumu un to lieto, lai aprakstītu abu kustību visus raksturīgos lielumus (ātrumu, ceļu, laiku).
1 punkts	Uzsāk īstenot atbilstošu risinājuma plānu un veic vismaz pusi no risinājuma soļiem, bet kādā no soļiem nozīmīgi kļūdās vai apstājas.
1 punkts	Izveido nevienādību vai vienādojumu, kas matemātiski apraksta doto situāciju.
3 punkti	Par nevienādības (vienādojuma) atrisināšanu.
	Risinājums kopumā pareizs, bet kādā no soļiem tiek pieļauta skaitļošanas kļūda, formulēts daļēji pareizs apgalvojums vai pieļautas cita veida neprecizitātes, nepilnības (piemēram, nepilnīgi parādīts intervālu metodes lietojums) – 2 punkti. Risinājums pilnīgi pareizs un pamatots – 3 punkti. Sniedz ar darbībām vai spriedumiem pamatotu atbildi uz formulēto jautājumu (uzraksta ātruma skaitlisko vērtību intervālu) – 1 punkts.
Ir/nav	Risinājums ir strukturēts un saprotami izklāstīts.
Ir/nav	Korekti lieto mērvienības, vienādības un nevienādības zīmes, korekti pieraksta skaitļu intervālus

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamais tests

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

ONLINE VIDEO KURSS

"MATEMĀTIKA 10. KLASEI"

PALĪGSMĀCĪBĀS.LV

	\(s\ \)(km)	\(v\ \)(km/h)	\(t\ \)(h), $t = \frac{s}{v}$
plosts \(B-C\)	24	4	$\frac{24}{4} = 6$
kuteris \(B-C\)	24	\(x+4\)	$\frac{24}{x + 4}$
kuteris \(C-A\)	36	\(x-4\)	$\frac{36}{x - 4}$

2. Kustība pa upi. Nevienādība

Teorija