Pierādījuma uzdevums
Vērtēšanas indikators matemātikas VPD augstākajā līmenī: 10.13. Pierāda plaknes figūras īpašību, atsaucoties uz jau pierādīto, lietojot trijstūru līdzību, laukuma īpašības, ģeometriskos pārveidojumus.
Piemērs:
Dots taisnleņķa trijstūris (ar taisno leņķi ). Pret hipotenūzu no tās iekšējā punkta novilkts perpendikuls, kas kateti krusto punktā (sk. att.).
Pierādi, ka
a) ,
b) ,
c) ap četrstūri var apvilkt riņķa līniju un .
Viens no iespējamiem risinājumiem
a) Ja leņķi \(B\) apzīmē ar , tad leņķis \(BMN =\) (trijstūrī \(NBM\)).
Arī \(CAB =\) (trijstūrī \(CAB\)).
Tātad leņķi \(BMN\) un \(CAB\) ir vienādi.
b) Trijstūris \(NBM\) un trijstūris \(CBA\) ir līdzīgi pēc pazīmes: leņķis, leņķis:
Divi trijstūri ir līdzīgi, ja viena trijstūra divi leņķi ir attiecīgi vienādi ar otra trijstūra diviem leņķiem.
Šajos trijstūros taisnie leņķi \(ACB\) un \(MNB\) ir vienādi un leņķi \(BMN\) un \(CAB\) ir vienādi.
Var uzrakstīt līdzīgo trijstūru malu proporciju:
c) Ap četrstūri var apvilkt riņķa līniju, ja tā pretējo leņķu summas ir \(180\) grādi.
Ap četrstūri \(ANMC\) var apvilkt riņķa līniju, jo , tā kā četrstūra iekšējo leņķu summa ir \(180\) grādi, arī .
, jo tie ir ievilkti leņķi, kuri balstās uz viena loka \(MN\).