1. Daļveida nevienādības atrisināšana, to aizstājot ar nevienādību sistēmu

Par daļveida nevienādībām sauc tādas nevienādības, kurās mainīgais atrodas saucējā.

Daļveida nevienādības ir, piemēram,

\begin{array}{l} \frac{- 4}{x - 1} > 0 \\ \frac{x}{2 x - 5} \leq 0 \\ \frac{x + 3}{x {(x - 2)}^{2}} \leq 1 \end{array}

Viena no daļveida nevienādības atrisināšanas metodēm ir nevienādības aizstāšana ar nevienādību sistēmām.

Risinot daļveida nevienādību, neatkarīgi no metodes,
1) visus locekļus pārnes vienā pusē (lai labajā pusē būtu \(0\));
2) kreisās puses izteiksmi pārveido par daļu (izveido kopsaucēju).

Tādējādi nevienādību vienā no šīm formām:

\frac{f (x)}{g (x)} < 0

\frac{f (x)}{g (x)} > 0

\frac{f (x)}{g (x)} \leq 0

\frac{f (x)}{g (x)} \geq 0

Lai daļveida nevienādību aizstātu ar nevienādību sistēmu, jāzina zīmju likumi:

\begin{array}{l} \frac{(+)}{(+)} = (+) \frac{(-)}{(-)} = (+) \\ \frac{(+)}{(-)} = (-) \frac{(-)}{(+)} = (-) \end{array}

Izmantosim šos likumus.

Daļas vērtība var būt pozitīva tad un tikai tad, ja skaitītāja un saucēja izteiksmēm ir vienādas zīmes.

\frac{f (x)}{g (x)} > 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} f (x) > 0 \\ g (x) > 0 \end{cases} vai \{\begin{cases} f (x) < 0 \\ g (x) < 0 \end{cases}

Daļas vērtība var būt negatīva tad un tikai tad, ja skaitītāja un saucēja izteiksmēm ir dažādas zīmes.

\frac{f (x)}{g (x)} < 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} f (x) > 0 \\ g (x) < 0 \end{cases} vai \{\begin{cases} f (x) < 0 \\ g (x) > 0 \end{cases}

Ja daļveida nevienādība ir nestingra, tad īpaši jāievēro definīcijas apgabals, t.i., daļas saucējs nedrīkst būt \(0\). Tāpēc vienādība ir spēkā tikai skaitītājā. Saucējā ir stingrā nevienādības zīme.

\begin{array}{l} \frac{f (x)}{g (x)} \geq 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} f (x) \geq 0 \\ g (x) > 0 \end{cases} vai \{\begin{cases} f (x) \leq 0 \\ g (x) < 0 \end{cases} \\ \frac{f (x)}{g (x)} \leq 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} f (x) \geq 0 \\ g (x) < 0 \end{cases} vai \{\begin{cases} f (x) \leq 0 \\ g (x) > 0 \end{cases} \end{array}

Piemērs:

Atrisini nevienādību

\frac{x + 2}{x - 3} \geq 0

, uzrakstot to ar nevienādību sistēmām.
Risinājums

\begin{array}{l} D . a . x - 3 \neq 0 \\ \{\begin{cases} x + 2 \geq 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases} vai \{\begin{cases} x + 2 \leq 0 \\ x - 3 < 0 \end{cases} \end{array}

Atrisina katru no nevienādību sistēmām. Tās var numurēt.

\{\begin{cases} x \geq - 2 \\ x > 3 \end{cases} (1) vai \{\begin{cases} x \leq - 2 \\ x < 3 \end{cases} (2)

\((1)\) sistēmas atrisinājumu kopa:

x \in (3; + \infty)

\((2)\) sistēmas atrisinājumu kopa:

x \in (- \infty; - 2]

Ievēro, ka starp nevienādību sistēmām ir lietots vārds "vai". Tas nozīmē, ka dotās daļveida nevienādības atrisinājums ir vismaz viens no intervāliem, to pieraksta kā atsevišķo sistēmu atrisinājumu kopu apvienojumu.

Atbilde:

x \in (- \infty; - 2] \cup (3; + \infty)

Vingrinies!

Iepriekšējā tēma

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

ONLINE VIDEO KURSS

"MATEMĀTIKA 11. KLASEI"

PALĪGSMĀCĪBĀS.LV

1. Daļveida nevienādības atrisināšana, to aizstājot ar nevienādību sistēmu

Teorija