6. Pitagora un kosinusu teorēmas pierādījums ar vektoriem

 

Dots: taisnleņķa trijstūris

Jāpierāda: Pitagora teorēma -  katešu kvadrātu summa ir vienāda ar hipotenūzas kvadrātu.

  

Uzzīmējam taisnleņķa trijstūri \(ABC\).

 

 

Izvēlēsimies uz trijstūra malām vektorus tā, lai varētu uzrakstīt divu vektoru summu.

Apzīmējam $\overrightarrow{\mathit{BC}}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{\mathit{CA}}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{\mathit{BA}}=\overrightarrow{c}$ .

Redzam, ka $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$

 

Sakarības abas puses kāpina kvadrātā:

 

Tā kā katetes veido taisnu leņķi, tad skalārais reizinājums $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$, tad ${\overrightarrow{a}}^2+{\overrightarrow{b}}^2={\overrightarrow{c}}^2$.

 

Vektora skalārais kvadrāts ir tā garuma kvadrāts, tāpēc $a^2+b^2=c^2$.

Tas bija jāpierāda.

 

Pierādīsim kosinusu teorēmu.

 

Dots: patvaļīgs trijstūris

Jāpierāda: Trijstūra jebkuras malas kvadrāts ir vienāds ar abu pārējo malu kvadrātu summu, no kuras atņemts šo malu divkāršots reizinājums ar ietvertā leņķa kosinusu.

  

Uzzīmējam patvaļīgu trijstūri \(ABC\).

Izvēlēsimies uz trijstūra malām vektorus tā, lai varētu uzrakstīt divu vektoru starpību.

Apzīmējam $\overrightarrow{\mathit{CB}}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{\mathit{CA}}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{\mathit{AB}}=\overrightarrow{c}$

Redzam, ka

$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$.

Sakarības abas puses kāpina kvadrātā:

 

Pēc definīcijas: vektoru skalārais reizinājums ir šo vektoru garumu un vektoru veidotā leņķa kosinusa reizinājums.

Tātad

$c^2=a^2+b^2-2\mathit{ab}\cdot \cos C$, kur leņķi \(C\) veido trijstūra malas \(a\) un \(b\).

 

Tas bija jāpierāda.