Ar MIP pierāda starpības dalīšanos — uzdevums. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Pierādi, ka

17^{2 n} - 288 n - 1

dalās ar 576 jebkurām naturālām \(n\) vērtībām.

Papildini doto pierādījumu!

Doto apgalvojumu apzīmē ar \(A(n)\).

Jāpierāda, ka

17^{2 n} - 288 n - 1

dalās ar 576 visām naturālām \(n\) vērtībām.

Apzīmē doto apgalvojumu ar \(A(n)\).
Indukcijas bāze.

Ja \(n=1\), tad

17^{2} - 288 \cdot 1 - 1 = i

, tātad dalās ar 576.

Apgalvojums ir patiess.

Induktīvais pieņēmums.

Pieņemam, ka apgalvojums \(A(k)\) ir patiess, t.i.,

17^{2 k} - 288 k - 1

dalās ar 576.

Induktīvā pāreja.

Pārbaudīsim, vai ir patiess apgalvojums \(A(k+1)\), t.i., pārbaudīsim vai

17^{i k + i} - 288 (k + i) - 1

dalās ar 576.

Pārveidojam šo izteiksmi, atdalām induktīvā pieņēmuma izteiksmi:

\begin{array}{l} ... \\ = 17^{2 k} \cdot i - \underline{288 k} - i \underline{- 1} = \\ ... \\ = \underline{17^{2 k} - 288 k - i} + (i \cdot 17^{2 k} - 288) \end{array}

Pēc induktīvā pieņēmuma, izteiksme

17^{2 k} - 288 k - 1

dalās ar .

Vēl jāpierāda, ka

(i \cdot 17^{2 k} - i)

arī dalās ar .

Iznesot pirms iekavām skaitli , iegūst reizinājumu

i (17^{2 k} - 1)

Reizinātājs

(17^{2 k} - 1)

ir skaitlis.

Var secināt, ka reizinājums dalās ar .

Tātad

17^{2 (k + 1)} - 288 (k + 1) - 1

dalās ar .

Secinājums

Gan indukcijas bāze, gan pāreja ir pierādītas.

Redzam, ka no izteikuma \(A(k)\) patiesuma seko \(A(k+1)\) patiesums.

Esam pierādījuši \(A(n)\) patiesumu visām \(n\) vērtībām.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Ieiet portālā vai Reģistrēties

Atradi kļūdu?

Lai iesniegtu atbildi un redzētu rezultātus, Tev nepieciešams autorizēties. Lūdzu, ielogojies savā profilā vai reģistrējies portālā!

Ieiet portālā vai Reģistrēties

13. Ar MIP pierāda starpības dalīšanos