Integrāļa lietojums fizikā (mehānikā) — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Integrāļa lietojums fizikā (mehānikā)

Ja ir zināma paātrinājuma funkcija, ar nenoteikto integrāli var noteikt ātruma izteiksmi:

v (t) = \int a (t) dt

Ja ir zināma ātruma funkcija, ar nenoteikto integrāli var izrēķināt koordinātu:

x (t) = \int v (t) dt

*Ja ir zināma ātruma funkcija un laika intervāls, ar noteikto integrāli var aprēķināt ķermeņa pārvietojumu. Ja funkcija v(t) ir nenegatīva, tad pārvietojums ir vienāds ar ceļu.

s = \int_{t_{1}}^{t_{2}} v (t) dt = x (t)| \begin{array}{l} t_{2} \\ t_{1} \end{array}

Ja ir zināma spēka funkcija atkarībā no koordinātas un ceļš veikts taisnā posmā, tad ar noteikto integrāli var aprēķināt veikto darbu:

A = \int_{x_{1}}^{x_{2}} F (x) dx

, kur

x_{1}, x_{2}

- sākuma un beigu koordināta.

Piemērs:

Aprēķini taisnvirziena kustības ātrumu laika momentā $t = 3 s$ , ja zināms, ka paātrinājums tiek rēķināts pēc likuma $a (t) = (5 + 2 t) \frac{m}{s^{2}}$ un ķermenis uzsāk kustību no miera stāvokļa. Aprēķini veikto ceļu kustības pirmajās $6$ sekundēs.

Risinājums.

Tā kā ķermenis uzsāk kustību no miera stāvokļa, tad $v(0)=0$.

Ātruma izteiksmi iegūstam, integrējot paātrinājuma izteiksmi:

v (t) = \int a (t) dt = \int (5 + 2 t) dt = 5 t + t^{2} + C

Konstante $C$ sakrīt ar sākuma ātrumu, tātad $C=0$.

Ātruma izteiksme ir

v (t) = 5 t + t^{2}

Aprēķinām ātrumu pēc $3$ sekundēm.

v (3) = 5 \cdot 3 + 3^{2} = 15 + 9 = 24 (m / s)

Tātad pēc $3$ sekundēm ķermenis ir sasniedzis ātrumu ir $24$ metri sekundē.

Ja ir zināma ātruma izteiksme un laiks, ar noteikto integrāli var aprēķināt veikto ceļu (pie nosacījuma, ka ātruma funkcija ir nenegatīva):

\begin{array}{l} s = \int_{t_{1}}^{t_{2}} v (t) dt = \int_{0}^{6} (5 t + t^{2}) dt = \\ = (\frac{5 t^{2}}{2} + \frac{t^{3}}{3})| \begin{array}{l} 6 \\ 0 \end{array} = \frac{5 \cdot 36}{2} + \frac{6^{3}}{3} - 0 = \\ = 90 + 72 = 162 (m) \end{array}

Tātad veiktais ceļš pirmajās $6$ sekundēs ir $162$ metri.

Aplūkosim piemēru par mainīga spēka veikto darbu.

Piemērs:

Zināms, ka izstiepjot atsperi par $1$ $cm$ , nepieciešams $3$ $N$ liels spēks. Aprēķini darbu, kas jāveic, izstiepjot atsperi par $6$ $cm$ .

Risinājums.

No fizikas zinām, ka atsperes izstiepšanai nepieciešamais spēks ir proporcionāls tās galapunkta pārvietojumam $x.$ Tātad $F(x)=kx$, kur proporcionalitātes koeficients $k$ ir atkarīgs no atsperes elastības īpašībām.

1 cm = 0, 01 m

Pēc dotā

F (0, 01) = 3

. Tātad

0, 01 \cdot k = 3 \Rightarrow k = 300

Esam ieguvuši spēka izteiksmi $F(x)=300x.$

Ja ir zināma spēka izteiksme atkarībā no koordinātas un ceļš veikts taisnā posmā, tad ar noteikto integrāli var aprēķināt veikto darbu:

A = \int_{x_{1}}^{x_{2}} F (x) dx

, kur

x_{1}, x_{2}

- sākuma un beigu koordināta.

\begin{array}{l} A = \int_{0}^{0, 06} F (x) dx = \int_{0}^{0, 06} 300 xdx = \\ = 150 x^{2}| \begin{array}{l} 0, 06 \\ 0 \end{array} = 150 \cdot {0, 06}^{2} = 0, 54 (J) \end{array}

Atbilde: Jāveic $0,54$

J

liels darbs.

*SKOLA 2030 kontekstā ātruma funkcija vienmēr būs nenegatīva, tāpēc risinot SKOLA 2030 dotos uzdevumus noteiktais integrālis no ātruma funkcijas ir vienāds ar ceļu. Vispārīgā gadījumā noteiktais integrālis no ātruma funkcijas ir pārvietojums.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Idejas autors Toms Akmens, Tukuma Raiņa ģimnāzijas matemātikas un fizikas skolotājs, Skola2030 eksperts.

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

5. Integrāļa lietojums fizikā (mehānikā)

Teorija

Pamanīts reklāmas bloķētājs!