8. Tangenss leņķim starp taisnēm, paralelitātes un perpendikularitātes nosacījums

Pieņemsim, ka divas taisnes ir uzdotas atklātā formā ar vienādojumiem

y = kx + b

. Tad tangensu leņķim starp tām var aprēķināt, izmantojot abu taišņu virziena koeficientu vērtības

k_{1}

k_{2}

tg ϕ = \frac{k_{2} - k_{1}}{1 + k_{1} k_{2}}

Divu taišņu paralelitātes nosacījums

Ja divas taisnes ir paralēlas, tad sakrīt arī to virziena leņķi un tātad arī virziena koeficienti.

ϕ_{1} = ϕ_{2} \Rightarrow tg ϕ_{1} = tg ϕ_{2} \Rightarrow k_{1} = k_{2}

Divu taisņu perpendikularitātes nosacījums

Ja divas taisnes ir perpendikulāras, tad to virziena koeficientu reizinājums ir

- 1

k_{1} k_{2} = - 1

Piemērs:

Pārbaudi, vai taisnes

y = 4 x + 2

y = - \frac{1}{4} x + 2

ir perpendikulāras!

Abu taišņu virziena koeficienti ir

k_{1} = 4

k_{2} = - \frac{1}{4}

. Redzams, ka to reizinājums tiešām ir

- 1

, tātad abas taisnes tiešām ir perpendikulāras.

Piemērs:

Aprēķini tangensu leņķim starp taisnēm

x + 2 y + 3 = 0

2 x + y + 4 = 0

!

Pārveidojam šos vienādojumus par atklātiem vienādojumiem:

\begin{array}{l} x + 2 y + 3 = 0 \Leftrightarrow y = - \frac{1}{2} x - \frac{3}{2} \\ 2 x + y + 4 = 0 \Leftrightarrow y = - 2 x - 4 \end{array}

Tātad

k_{1} = - \frac{1}{2}

k_{2} = - 2

. Izmantojot formulu, aprēķinām tangensa vērtību:

\begin{array}{l} tg ϕ = \frac{k_{2} - k_{1}}{1 + k_{1} k_{2}} \\ tg ϕ = \frac{- 2 - (- \frac{1}{2})}{1 + (- \frac{1}{2}) \cdot (- 2)} = \frac{- \frac{3}{2}}{1 + 1} = - \frac{3}{4} \end{array}

Atradi kļūdu?