Teorija

Pēc valsts vispārējās vidējās izglītības standarta, vidusskolēni augstākajā apguves līmenī pilnveido savas zināšanas VARBŪTĪBU TEORIJĀ.
 
Skat. dokumentu:
6. pielikums Ministru kabineta 2019. gada 3. septembra noteikumiem Nr. 416.
Plānotie skolēnam sasniedzamie rezultāti matemātikas mācību jomā. Augstākais apguves līmenis.
 

5.2. Varbūtību teorijas elementi

 

5.2.1. Aprēķina savienojamu notikumu apvienojuma varbūtību, izmantojot darbības ar kopām un to vizuālo attēlojumu.

 

5.2.2. Lieto pilnās varbūtības formulu varbūtības aprēķināšanai.

 

5.2.3. Praktiska konteksta piemēros skaidro, nosaka, analizē mainīga lieluma (iespējamo vērtību skaits galīgs) varbūtības sadalījumu, aprēķina mainīgā lieluma sagaidāmo vērtību.

 

5.2.4. Praktiska konteksta piemēros skaidro vienmērīgo, Bernulli un binomiālo sadalījumu diskrētiem mainīgiem lielumiem, lieto Bernulli formulu varbūtības aprēķināšanai.

Skaidro saistību starp binomiālo sadalījumu diskrētiem mainīgiem lielumiem un normālo sadalījumu nepārtrauktiem mainīgiem lielumiem.

 

 
Padziļinātā kursa programmas paraugs vispārējai vidējai izglītībai "Matemātika II
 
2. temats. Varbūtība un statistika II
Kopā 22 - 24 mācību stundas. Skat. dokumenta 22. lpp.-30.lpp.
  
Varbūtību sadalījums
  
Risina uzdevumu, kas ļauj nonākt pie idejas par varbūtību sadalījumu, izmantojot zināšanas par biežumu, relatīvo biežumu un tā skaitlisko vērtību summu (1), izpratni par pilnu nesavienojamu notikumu kopu un šo notikumu varbūtību summu (1). Secina par relatīvā biežuma summas ģeometrisko interpretāciju, ja histogrammas intervāla garums ir viena vienība
 
Piemēri.
1. Mārketinga izpētes nolūkos tika aptaujātas 25 ģimenes par piena patēriņu (litros, noapaļojot līdz veseliem) vienas nedēļas laikā.
Piena patēriņš (litri)012345
Biežums259531
Relatīvais biežums      
Varbūtība      
 
a) Aprēķini un attēlo tabulā piena patēriņa relatīvo biežumu.
b) Attēlo tabulā X varbūtību sadalījumu, ja X ir piena litru skaits (līdz tuvākajam litram), ko ģimene patērē noteiktā nedēļā.
c) Attēlo X varbūtību sadalījumu kā histogrammu ar vienu vienību platiem stabiņiem bez atstarpēm un to augstumu – relatīvo biežumu.
 
2. Apkopo datus par laiku, ko katrs tavas klases skolēns pavada no mājām līdz skolai un attēlo tos biežuma histogrammā. Aprēķini un attēlo histogrammā lielumu relatīvo biežumu. Savieto biežuma un relatīvā biežuma histogrammas un formulē secinājumus.
 
Diskrēta gadījuma lieluma varbūtību sadalījums
 
Iegūst informāciju uzziņu literatūrā un skaidro šādus jēdzienus: diskrēts gadījuma lielums, diskrēta gadījuma lieluma vērtības un iespējamo vērtību kopa, diskrēta gadījuma lieluma varbūtību sadalījums. Raksturo varbūtību sadalījuma attēlošanu tabulā un lietoto simboliku.
Izsaka domas, vai ir saskatāma analoģija starp diskrēta gadījuma lieluma varbūtību sadalījumu un funkciju.
 
Piemērs. Kārlim basketbola treniņš ir divas dienas nedēļā. 90 % gadījumu viņš apmeklē abus treniņus, 8 % gadījumu – vienu treniņu, bet 2 % gadījumu viņš neapmeklē nevienu treniņu. Raksturo lielumus un pieraksti tos, lietojot pieņemtos apzīmējumus X, xi,pi.
 
Piemēros ar praktisku vai matemātisku kontekstu skaidro, nosaka diskrēta gadījuma lieluma (iespējamo vērtību skaits ir galīgs) varbūtību sadalījumu, korekti lieto pieņemtos apzīmējumus.
 
Piemērs.
1. Paskaidro teorētiski un ar piemēru ilustrē diskrēta gadījuma lieluma varbūtību sadalījumu.
2. Urnā ir 6 baltas un 3 melnas bumbiņas. Vienu bumbiņu izņem un nosaka tās krāsu, pēc kā bumbiņu ievieto atpakaļ urnā. To atkārto 3 reizes. Nosaki varbūtību sadalījumu gadījuma lielumam X, kur X – melno bumbiņu skaits. Varbūtību sadalījumu attēlo tabulā un grafiski.
 
Nosaka nezināmo varbūtību pi=PX=xi, izmantojot sadalījuma pārējo varbūtību skaitliskās vērtības un to summu. Izsaka pieņēmumu par gadījuma lieluma varbūtību sadalījumu, piemēram, par īpašumā esošo transporta līdzekļu skaitu Latvijas iedzīvotājiem, iegūst datus un novērtē pieņēmuma atbilstību, izmantojot iegūtos datus.
 
Diskrēta gadījuma lieluma sagaidāmā vērtība
 
Aprēķina svērto aritmētisko vidējo. Konkrētos piemēros (uzdevumā “par 6 baltām un 3 melnām bumbiņām” u. tml.) izsaka idejas par diskrēta gadījuma lieluma vidējo vērtību, izmantojot varbūtību sadalījumu.
Atrod informāciju un definē diskrēta gadījuma lieluma sagaidāmo vērtību. Saskata kopīgo diskrēta mainīga lieluma sagaidāmajai vērtībai ar svērto aritmētisko vidējo. Spriež induktīvi, veic ekvivalentus pārveidojumus, iegūst sagaidāmās vērtības aprēķināšanas formulu EX=i=1nxipi.
Lieto diskrēta gadījuma lieluma sagaidāmās vērtības aprēķināšanas formulu praktiskos kontekstos par kvalitātes kontroli u. tml.
Piemērs.
Pārtikas preču veikals praksē ir noteicis, ka 95 % tomātu kastu nav bojātu tomātu, 2 % kastu ir 1 bojāts tomāts, 2 % kastu ir 2 bojāti tomāti un 1 % kastu ir 3 bojāti tomāti. Aprēķini sagaidāmo vērtību bojātu tomātu skaitam nejauši izvēlētā kastē.
 
Vingrinās lietot sagaidāmās vērtības aprēķināšanas formulu ar nezināmo jebkurā pozīcijā.
Piemēri.
1. Gaidstāves pasažieru* skaits, kas saņem vietu ikdienas reisā no Bostonas uz Ņujorku, ir gadījuma lielums X , kura varbūtību sadalījums dots tabulā. Nosaki sagaidāmo vērtību. Raksturo, vai un kā iegūtos rezultātus var izmantot aviosabiedrība, lai pamatoti plānotu savu darbību. * Pasažieri, kas iegādājušies biļetes, bet tiem jāgaida uz citu lidojumu, jo plānotajā lidojumā lidot gribētāju ir vairāk nekā vietu skaits lidmašīnā.
tab.PNG
 
Tabulā dota informācija par diskrēta gadījuma lieluma X vērtībām un to varbūtību. Nosaki: a) k vērtību; b) gadījuma lieluma X sagaidāmo vērtību
2tab.PNG
 
3.  Apdrošināšanas sabiedrība (AS) piedāvā iegādāties 20000 eiro vērta safīra gredzena apdrošināšanas polisi. Līgums paredz: 1) ja gredzens tiek nozagts, AS samaksā gredzena vērtību pilnībā; 2) ja tas tiek nozaudēts, AS īpašniekam maksās 8000 eiro. Iepriekšējā pieredze AS ļauj pieņemt, ka zādzības varbūtība ir 0,0025, bet nozaudēšanas varbūtība ir 0,03.
a) Nosaki varbūtību, ka AS polises pircējam neko nemaksā.
b) Aprēķini polises cenu, ja AS to noteikusi tādu, ka tās peļņas sagaidāmā vērtība ir 100 eiro par polisi.
 
Atrod diskrēta gadījuma lieluma varbūtību sadalījuma standartnovirzes aprēķināšanas formulu uzziņu avotos un lieto to uzdevumos ar reālu kontekstu. Skaidro iegūto rezultātu lietojumu praksē, lai plānotu, prognozētu saimniecisko darbību u. tml.
 
Piemērs. Laiks ar precizitāti līdz veselai minūtei (X), kas nepieciešams pilsētas autobusam visa maršruta veikšanai, ir parādīts varbūtību sadalījumā
tb3.PNG
a) Aprēķini X sagaidāmo vērtību E(X) un standartnovirzi σ.
b) Nosaki laika intervālu, kādā autobuss parasti veic maršrutu (E(X) ±σ).
 
Binomiālais sadalījums
  
Konkrētos piemēros skaidro, kas ir neatkarīgi mēģinājumi. Risina 1–2 uzdevumus ar mērķi izvirzīt pieņēmumu par to, kā aprēķināt varbūtību tam, ka sērijā no n neatkarīgiem mēģinājumiem notikums A īstenojies m reižu (n – m reižu nav īstenojies). Aplūkotajos piemēros varbūtību sadalījumu attēlo grafiski (taisnstūru platums ir 1 vienība). Saskata un raksturo kopīgo un atšķirīgo grafiskajos attēlos. Iegūst informāciju par sadalījuma nosaukuma izcelsmi (saistība ar Ņūtona binomu).
 
Piemērs. Distancē biatlonistam jāveic 3 šāvieni. Zināms, ka biatlonists trāpa mērķī ar varbūtību p (varbūtība netrāpīt ir q = 1 – p). Kāda varbūtība, ka trāpīs xi šāvienos (iespējamās xi vērtības ir 0, 1, 2 un 3)
Formulē vispārinājumu – Bernulli formulu PX=k=Cnkpkqnk. Lieto binomiālo sadalījumu un Bernulli formulu.
 
Piemēri.
1. Farmācijas firma ir atklājusi jaunu diagnostikas testu, kas 90 % gadījumu uzrāda pozitīvu rezultātu pacientam, kurš ir inficēts ar noteiktu slimību. Nosaki varbūtību, ka, diagnosticējot piecus inficētus pacientus, tiks atklāti četri.
 
2. Bioloģijas pārbaudes darbs sastāv no septiņiem jautājumiem ar pieciem atbilžu variantiem, no kuriem tikai viens ir pareizs. Lai pārbaudes darbs tiktu ieskaitīts, nepieciešamas vismaz četras pareizas atbildes. Anna nezina pareizo atbildi nevienam jautājumam, tāpēc atbildi katram jautājumam viņa izvēlas nejauši.
a) Nosaki varbūtību, ka Anna pareizi atbildēs uz četriem jautājumiem.
b) Nosaki varbūtību, ka Anna nokārtos bioloģijas pārbaudes darbu.
 
Nosauc diskrēta gadījuma lielumu piemērus, kuru varbūtību sadalījums atbilst binomiālajam sadalījumam, nepieciešamo informāciju atrod uzziņu avotos. Spriež induktīvi, konkrētam vērtību skaitam nosaka un pamato sagaidāmās vērtības aprēķināšanas formulu binomiālam varbūtību sadalījumam, ja vērtību skaits ir 3.
Formulē vispārinājumu E(X)=np, salīdzina ar informāciju uzziņu avotos
 
Piemērs.
Pierādi – ja binomiālam varbūtību sadalījumam vērtību skaits ir 3, tad sagaidāmo vērtību aprēķina ar formulu E(x)=3p, kur p – labvēlīga notikuma iestāšanās varbūtība.
 
Lieto binomiāla sadalījuma sagaidāmās vērtības aprēķināšanas formulu.
Piemēri.
1. Spēles apraksts: “Katrā gājienā monēta tiek mesta 10 reizes. Ja cipars uzkrīt 4 reizes vai mazāk, spēlētājs A iegūst 2 punktus. Ja cipars parādās vairāk nekā 4 reizes, spēlētājs B iegūst 1 punktu.” Izmanto varbūtību sadalījumu, lai prognozētu uzvarētāju spēlē.
 
2. Zināms, ka 75 % no visiem pirkumiem noteiktā veikalā tiek veikti ar kredītkarti. Tiek apskatīti 10 nejauši izvēlēti pirkumi. Aprēķini: a) varbūtību, ka tieši septiņi pirkumi no izvēlētajiem 10 ir veikti ar kredītkarti; b) sagaidāmo vērtību pirkumu skaitam (no izvēlētajiem 10), kas veikti ar kredītkarti.
 
Citi varbūtību sadalījumi
 
Iegūst informāciju, veido priekšstatu par citiem diskrētiem varbūtību sadalījumiem – vienmērīgais, Bernulli, Puasona, hiperģeometriskais. Iegūst informāciju par Puasona un hiperģeometriskā sadalījuma lietojumu dažādās jomās