Par redukcijas formulām sauc formulas, ar kuru palīdzību leņķu, kas lielāki par \(90\) grādiem, trigonometriskās funkcijas izsaka ar šaurā leņķa funkcijām.
Piemēram,
Pirms redukcijas formulu izmantošanas, leņķim atdala funkcijas periodu (sinusam un kosinusam tas ir \(360\) grādi jeb \(2\pi\), bet tangensam un kotangensam periods ir \(180\) grādi jeb ).
Piemēram:
Pirmajā piemērā redukcijas formula nav jālieto, jo ir iegūts 1. kvadranta leņķis, taču otrajā piemērā pārveidojumi jāturpina.
Visas redukcijas formulas izsaka divi reducēšanas likumi:
1) Ja reducēšanā izmanto \(90\) vai \(270\) grādu leņķi, tad funkcija nosaukumu maina šādi: uz (un otrādi), uz (un otrādi). Ja reducēšanā izmanto \(180\) vai \(360\) grādus, tad funkcija savu nosaukumu nemaina.
2) Rezultātam pieraksta + vai - zīmi atkarībā no tā, kāda zīme ir dotajai funkcijai kvadrantā, pie kura pieder reducējamais leņķis.
Funkcijas zīmi nosaka no vienības riņķa.
|
Funkcija
|
I
kvadrants
|
II
kvadrants
|
III
kvadrants
|
IV
kvadrants
|
|
+
|
+
|
\(- \)
|
\(-\)
|
|
|
+
|
\(-\)
|
\(- \)
|
+
|
|
|
,
|
+
|
\(- \)
|
+
|
\(-\)
|
Sinusa zīmes
Kosinusa zīmes
Tangensa un kotangensa zīmes nosaka pēc sinusa un kosinusa zīmēm
Tangensa un kotangensa zīmes
Ieteicamā reducēšanas secība:
- nosaka kvadrantu;
- nosaka zīmi;
- izvēlas funkcijas nosaukumu.
Piemērs:
Reducē uz I kvadranta leņķi!
Risinājums
Leņķis atrodas II kvadrantā. Tangensa vērtība šajā kvadrantā ir negatīva.
1) Varam izmantot \(90°\) leņķi. Tādā gadījumā funkcijas nosaukums mainās:
2) Varam izmantot \(180°\) leņķi. Tādā gadījumā funkcijas nosaukums nemainās:
Abi rezultāti ir pareizi. Kā zināms, to vērtības sakrīt, tas ir .
Ja uzdevumā būtu nosacījums, ka nepieciešams reducēt uz iespējami mazāko pozitīvo leņķi, tad derētu tikai 1) risinājuma atbilde.
Padoms: ja reducē piemēru, kurā leņķis ir zināms, skatās, kuram no leņķiem uz koordinātu ass tas ir tuvāk. Šajā piemērā \(120\)° tuvāk ir \(90\)° nevis \(180\)°.
Atsauce:
Materiālu sagatavoja. Mg. math. Laima Baltiņa