Nenoteikto koeficientu metode saknei ar otro kārtu — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Īstu daļveida racionālu funkciju var sadalīt elementārdaļās, t. i., izteikt to kā elementārdaļu summu ar nenoteiktiem koeficientiem.

1) Katrai reālai vienkāršai saknei atbilst elementārdaļa

\frac{A}{x - a}

2) Reālai saknei ar kārtu \(k\) (\(k>1\)) atbilst \(k\) elementārdaļas

\frac{A_{1}}{x - a} + \frac{A_{2}}{{(x - a)}^{2}} + ... + \frac{A_{k}}{{(x - a)}^{k}}

Aplūkosim piemēru otrajam veidam, kurā saucēja saknes kārta ir \(k=2\).

Piemērs:

Sadali elementārdaļās izteiksmi

\frac{2 x - 3}{x^{2} - 2 x + 1}

Risinājums.

Vispirms sadala reizinātājos saucēju. Saucējs ir starpības kvadrāts. Saucēja sakne \(x=1\) ir otrās kārtas sakne:

x^{2} - 2 x + 1 = {(x - 1)}^{2} = (x - 1) (x - 1)

Uzraksta sadalījumu elementārdaļās:

\frac{2 x - 3}{x^{2} - 2 x + 1} = \frac{2 x - 3}{(x - 1) (x - 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{{(x - 1)}^{2}}

Tā kā ir tikai divi koeficienti, pieraksta vienkāršības dēļ otro koeficientu apzīmē ar \(B.\)

Lai noskaidrotu \(A\) un \(B\), vienādo elementārdaļu saucējus:

\begin{array}{l} \frac{2 x - 3}{x^{2} - 2 x + 1} = \frac{A^{(x - 1}}{x - 1} + \frac{B}{{(x - 1)}^{2}} \\ \frac{2 x - 3}{x^{2} - 2 x + 1} = \frac{A (x - 1) + B}{x^{2} - 2 x + 1} \end{array}

Tā kā daļas ir vienādas, to saucēji arī ir vienādi, tad vienādiem jābūt arī skaitītājiem:

\begin{array}{l} 2 x - 3 = Ax - A + B \\ Ax - A + B = 2 x - 3 \end{array}

Zināms, ka uzrakstītā vienādība izpildās jebkurai \(x\) vērtībai.

1) \(x\) vietā ievietosim sakni

Ja \(x=1\), tad

\begin{array}{l} A \cdot 1 - A + B = 2 \cdot 1 - 3 \\ B = - 1 \end{array}

2) Lai iegūtu \(A\) vērtību, var rīkoties dažādi.

Mēs ievietosim iegūto \(B\) vērtību un izvēlēsimies \(x=0\)

\begin{array}{l} A \cdot 0 - A - 1 = 2 \cdot 0 - 3 \\ - A + 1 = - 3 \\ - A = - 2 \\ A = 2 \end{array}

Tātad dotās funkcijas sadalījums elementārdaļās ir:

\begin{array}{l} \frac{2 x - 3}{x^{2} - 2 x + 1} = \frac{2}{x - 1} + \frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}} \\ \frac{2 x - 3}{x^{2} - 2 x + 1} = \frac{2}{x - 1} - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} \end{array}

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Dainis Kriķis. Kārlis Šteiners. Matemātiskās analīzes elementi vidusskolai. 2. daļa. izm. 19.- 20. lpp.

Idejas autors Toms Akmens, Tukuma Raiņa ģimnāzijas matemātikas un fizikas skolotājs

Atradi kļūdu?

2. Nenoteikto koeficientu metode saknei ar otro kārtu