3. Funkcijas robežas definīcija, kad x tiecas uz a

Aplūkosim reālo skaitļu kopā vai arī kādā intervālā definētu funkciju \(f(x\)). Definēsim šīs funkcijas robežu $\underset{x\to a}{\mathit{limf}(x)}=A$. Lasa - "funkcijas \(f(x)\) robeža, \(x\) tiecoties uz skaitli \(a\), ir skaitlis \(A\)".

Lietojot matemātiskās loģikas simbolus, definīciju var pierakstīt saīsināti:

Tas nozīmē, ka jebkurā pēc patikas mazā ap skaitli \(A\) konstruētā intervālā vienmēr atradīsies kāda funkcijas vērtība, kuras atbilstošais arguments iegūts ap skaitli \(a\) konstruētā intervālā.

 

 

Simbolu nozīme:

 $\forall$ - "katram" (universiālkvantors),

 $\exists$ - "eksistē" (eksistences kvantors).

Grieķu alfabēta burti: $\mathrm{ϵ}$ - epsilons; $\mathrm{\delta }$ - delta.

 

Vidusskolas standartā ir prasība pierādīt robežas eksistenci ar robežas definīciju.

Redzam, ka \(x\) vietā ievietojot skaitli \(3\), robežas vērtība ir \(5\).

 

Saskaņā ar robežas definīciju ir jāpierāda, ka

Lai pēc brīvi izvēlēta $\mathrm{ϵ}$ atrastu vajadzīgo skaitli $\mathrm{\delta }$, pēdējā nevienādība ir jāatrisina attiecībā pret \(|x-3|.\)

 

Redzam, ka $\mathrm{\delta }=3\mathrm{ϵ}$.

Līdz ar to ir pierādīts, ka

Tātad $\underset{x\to 3}{\mathit{lim}}\left(\frac{x}{3}+4\right)=5$.

 

Ko tas nozīmē?

Mēs pierādījām, ka jebkuram $\mathrm{ϵ}$ eksistē atbilstoša $\mathrm{\delta }$.

Katram intervāla platumam uz \(y\) ass ar $\mathrm{ϵ}$ ir atbilstošs intervāla garums uz \(x\) ass ar $\mathrm{\delta }$.

Piemēram, ja mēs izvēlētos $\mathrm{ϵ}$\(=0,01\), tad mēs uz \(y\) ass aplūkotu intervālu $y\in \left(\mathrm{4,99};\mathrm{5,01}\right)$.

Mēs pierādījām, ka eksistē $\mathrm{\delta }$\( = 3\)$\mathrm{ϵ}$, kas noteiks atbilstošu intervālu uz \(x\) ass $x\in \left(\mathrm{2,97};\mathrm{3,}03\right)$. Šajā intervālā noteikti atradīsies tāds \(x\), kuram funkcijas vērtība \(f(x)\) atradīsies \(y\) intervālā.

Lai kādu $\mathrm{ϵ}$ izvēlas, ir iespējams uzkonstruēt \(x\) intervālu, no kura var paņemt \(x\) un uzkonstuēt \(f(x)\)