Komplanāru vektoru pazīme — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Divi vektori var būt kolineāri.

Mēs zinām, ka divus vektorus sauc par kolineāriem, ja tie atrodas uz vienas vai paralēlām taisnēm.

Kolineāru vektoru pazīme: vektori

\vec{a}

\vec{b}

ir kolineāri tad un tikai tad, ja eksistē tāds skaitlis

λ

, ka

\vec{a} = λ \vec{b}

Aplūkosim telpas vektoru īpašību.

Komplanāri vektori (Coplanar)

Trīs vektorus sauc par komplanāriem, ja tie atrodas vienā plaknē vai paralēlās plaknēs.

Komplanāru vektoru pazīme

Trīs vektori

\vec{a} = (a_{x}; a_{y}; a_{z})

\vec{b} = (b_{x}; b_{y}; b_{z})

\vec{c} = (c_{x}; c_{y}; c_{z})

ir komplanāri, ja vektoru

\vec{c}

var izteikt kā vektoru

\vec{a}

\vec{b}

lineāru kombināciju, proti,

\vec{c} = m \vec{a} + n \vec{b}

, kur \(m\) un \(n\) ir reāli skaitļi

m \neq 0

vai

n \neq 0

Piemērs:

Pierādi, ka vektori

\vec{a} = (1; 2; - 3)

\vec{b} = (1; 2; - 1)

\vec{c} = (2; 4; 4)

ir komplanāri.

Risinājums

Ir jāatrod tādi \(m\) un \(n\), ka

\vec{c} = m \vec{a} + n \vec{b}

\begin{array}{l} (2; 4; 4) = m \cdot (1; 2; - 3) + n \cdot (1; 2; - 1) \\ (2; 4; 4) = (1 m; 2 m; - 3 m) + (1 n; 2 n; - 1 n) \end{array}

Izpilda saskaitīšanu atbilstošām koordinātām:

(2; 4; 4) = (m + n; 2 m + 2 n; - 3 m - n)

Uzraksta vienādību sistēmu:

\{\begin{cases} m + n = 2 \\ 2 m + 2 n = 4 | : 2 \\ - 3 m - n = 4 \end{cases}

Redzam, ka pirmā rindiņa sakrīt ar otro rindiņu, tātad viena no tām ir lieka.

\begin{array}{l} \{\begin{cases} m + n = 2 \\ m + n = 2 \\ - 3 m - n = 4 \end{cases} \\ \underline{\{\begin{cases} m + n = 2 \\ - 3 m - n = 4 \end{cases} | +} \\ - 2 m = 6 \\ m = - 3 \\ - 3 + n = 2 \\ n = 5 \end{array}

Atradām tādus skaitļus \(m\) un \(n\), ka vektoru

\vec{c}

var izteikt kā vektoru

\vec{a}

\vec{b}

lineāru kombināciju:

\vec{c} = - 3 \vec{a} + 5 \vec{b}

. Tātad šie trīs vektori ir komplanāri. Tas nozīmē, ka tie atrodas vienā plaknē vai paralēlās plaknēs.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, JTV skolotāja

Skola2030 kursi

Atradi kļūdu?

14. Komplanāru vektoru pazīme