Uzdevums:

7♦
Uzdevumi.lv vingrinājumi pirms olimpiādes uzdevuma
  
Uzraksti skaitļa 10 sadalījumu pirmreizinātājos
Atceries, pirmreizinātājus raksta pieaugošā secībā!
10=ii
 
Uzraksti skaitļa 10 kvadrāta sadalījumu pirmreizinātājos
102=iiii
  
Latvijas 42. atklātās matemātikas olimpiādes 4. uzdevums
  
Pierādi, ka naturāla skaitļa kvadrāts nevar sastāvēt tikai no sešiniekiem un nullēm! (Skaitļa kvadrāts ir skaitļa reizinājums pašam ar sevi).
 
Risini kopā ar uzdevumi.lv!
 
Vēro vingrinājumi pirms olimpiādes uzdevuma un izdari secinājumu par pirmreizinātājiem skaitlī un tā kvadrātā.
 
Izvēlamies skaitli, kas sastāv tikai no sešiniekiem un nullēm.
Aplūkosim skaitļa pēdējos divus ciparus. Pavisam var būt četras situācijas.
 
Skaitļa pēdējie divi cipari var būt \(00\), \(60\), \(06\) vai \(66\).
Ja skaitlis beidzas ar pāra skaita nullēm, tad šīs nulles varam atmest, jo šādā gadījumā mēs atmetam reizinātāju  skaitā.
Ja skaitlis beidzas ar
  • 60, tad tam ir tieši viens pirmreizinātājs ;
  • 06, tad tam ir tieši viens pirmreizinātājs ;
  • 66, tad tam ir tieši viens pirmreizinātājs .
Tātad skaitlis, kas sastāv tikai no sešiniekiem un nullēm, nevar būt skaitļa kvadrāts, jo tā visi dažādie pirmreizinātāji .
 
Ievēro! Šādā uzdevumā ar dažu atsevišķu piemēru apskatīšanu, kuros neizdodas panākt vēlamo, nepietiek. Ir vajadzīgs pierādījums, kas balstās uz vispārīgiem spriedumiem, ka tiešām nekādā gadījumā prasīto nebūs iespējams iegūt.
 
Atsauce:
http://nms.lu.lv/uzdevumu-arhivs/latvijas-olimpiades/
 

Lai risinātu uzdevumus, lūdzu reģistrējies!

Ātra reģistrācija: