Teorija

"Virkni (bn), kurā katru nākamo locekli iegūst, iepriekšējo locekli reizinot ar vienu un to pašu skaitli \(q\), sauc par ģeometrisko progresiju."
"Ja virkne (bn) ir ģeometriskā progresija, tad jebkurai naturālai \(n\) vērtībai ir pareiza sakarība: bn+1=bnq"
  
"Skaitli \(q\) sauc par ģeometriskās progresijas kvocientu.
Ja zināms ģeometriskās progresijas (bn) pirmais loceklis b1 un kvocients \(q\), tad iespējams aprēķināt jebkuru progresijas locekli."
b2=b1q
b3=b2q=b1qq=b1q2
b4=b1q3
utt.
"Ģeometriskās progresijas vispārīgo locekli bn aprēķina, izmantojot formulu:
bn\(=\)b1qn1,
kur \(n\) - virknes locekļa numurs (kārtas numurs), b1 - virknes pirmais loceklis, \(q\) - kvocients."
Piemērs:
Aprēķināt ģeometriskās progresijas pirmos piecus locekļus un uzrakstīt \(n\)-tā locekļa formulu, ja b1\( =  {8} \) un \(q = 0,5\).
 
Risinājums:
b1\(= {8}  \) 
b2=b1q\( = \)8 ·0,5\(= \)4 
b3=b2q\( = \)4 ·0,5\(= \)2 
b4=b3q\( = \)2 ·0,5\(= \)1  
b5=b4q\( = \)1 ·0,5\(= \)0,5
...
bn\( = \)80,5n1
  
Ģeometriskās progresijas pirmo n locekļu summa
"Ģeometriskās progresijas pirmo n locekļu summu Sn var aprēķināt, ja aprēķina tās locekļus b1, b2, ..., bn un tad to vērtības saskaita."
Tomēr šāds summas aprēķināšanas paņēmiens ir darbietilpīgs, ja jārēķina vairāku progresijas locekļu summa. (Piemēram, \(10\), \(100\) u.c.)
  
"Ērtāk ģeometriskās progresijas pirmo \(n\) locekļu summu var aprēķināt, izmantojot
1. formulu: Sn=bnqb1q1, kur \(n\) - virknes locekļu skaits (kārtas numurs),
b1 - virknes pirmais loceklis, bn - virknes \(n\)-tais loceklis, \(q\) - kvocients."  
 
Bieži vien, risinot uzdevumus, ērtāk izmantot 2. formulu: Sn=b1(qn1)q1
Aprēķināt ģeometriskās progresijas pirmo piecu locekļu summu,  ja b1\(= 8\) un \(q = 0,5\).
 
Piemērs:
 
I variants
Aplūkojot pirmo piemēru, ir redzams:
b1\( = 8\), b2\( = \)4, b3\( = \)2, b4\( = \)1 un b5\( = \)0,5.
 
Saskaitot šos piecus skaitļus, iegūsim summu (pirmajiem \(5\) locekļiem):
Sn\( = \)S5\( = \)b1\( + \)b2\( + \)b3\( + \)b4\( + \)b5\( = \)8+4+2+1+0,5\( = \)15,5
  
II variants
Izmantosim 1. formulu:
Sn=bnqb1q1, kur \(n = 5\), b1\( = 8\) un \(q = 0,5\)
Pēc iepriekš aprēķinātā bn\( = \)b5\( = 0,5\) (jo \(n = 5\))
  
S5\( = \)(0,5 ·0,58)(0,51)\( = \)15,5
  
III variants
Izmantosim 2. formulu:  
Sn=b1(qn1)q1      S5\(=\)8(0,551)0,51\(= \)15,5 
Kā redzams, visi trīs risināšanas varianti noved pie viena atrisinājuma.
 
Pirmo piecu locekļu summa S5\(= \)15,5.
  
Ģeometriskās progresijas īpašība
Trīs pēc kārtas sekojošiem ģeometriskās progresijas locekļiem izpildās likums:
bn2=bn1bn+1,kurn2
 
Atsauce:
Matemātika 9.klasei/Ilze France, Gunta Lāce, Ligita Pickaine, Anita Miķelsone. - Lielvārde: Lielvārds, 2009. - 272 lpp.- izmantotā literatūra: 129.-134.lpp.