Teorija

Ģeometrisko progresiju sauc par bezgalīgi dilstošu, ja tās kvocients \(q\) pēc moduļa ir mazāks par \(1\) (\(|q|<1\)).
Kvocients var būt gan negatīvs, gan pozitīvs lielums,
Piemēram, kvocients var būt 0,3;12;13;78.
 
Svarīgi!
Par bezgalīgi dilstošas ģeometriskās progresijas locekļu summu sauc skaitli, uz kuru tiecas šīs progresijas pirmo \(n\) locekļu summa, \(n\) vērtībai neierobežoti palielinoties.
 
S=b11q
 
Piemērs:
Riņķa līnijā, kuras rādiuss ir \(10\) cm, ievilkts kvadrāts, kvadrātā ievilkta riņķa līnija utt., iegūstot bezgalīgi daudz kvadrātu un riņķa līniju (skat. zīm.).
 
rinkis 2.JPG
 
Aprēķini visu kvadrātu perimetru summu!
 
Risinājums:
Jāpārbauda, vai dota bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija.
Viegli aprēķināt: ja riņķa līnijas rādiuss ir \(10\) cm, tad ievilktā kvadrāta mala ir 102 cm, nākošā kvadrāta mala ir \(10\) cm, nākošā 52 cm utt.
 
Kvadrātu perimetri veido virkni:
402;40;202;...
 
b2b1=40402=12=22unb2b3=20240=22utt.
Redzam, ka q=22q<1
 
Izmantojam bezgalīgi dilstošas ģeometriskās progresijas summas formulu: S=b11q=402122=402222=80222
 
Atbilde: visu kvadrātu perimetru summa ir 80222 cm
 
Svarīgs bezgalīgi dilstošas ģeometriskās progresijas summas formulas pielietojums ir pāreja no bezgalīgas periodiskas decimāldaļas uz parastu daļu.
 
Piemērs:
Pārveido skaitli \(0,(17)\) par parastu daļu!
  
Risinājums:
Šo periodisko decimāldaļskaitli var uzrakstīt kā summu.
\(0,(17)=0,1717171717...=0,17+0,0017+0,000017+...\)
Summas saskaitāmie veido bezgalīgi dilstošu ģeometrisko progresiju, kurā \(q=0,01\), bet pirmais loceklis ir \(0,17\).
Izmanto summas formulu:
S=b11q=0,1710,01=0,170,99=1799
 
Atbilde:
0,17=1799
 
Formulas var atrast matemātikas eksāmena formulu lapā: Formulas