Teorija

Funkciju, kuras vispārīgais veids ir y=ax2+bx+c, kur \(a\), \(b\), \(c\) ir reāli skaitļi, \(a\neq 0\), sauc par kvadrātfunkciju.

Kvadrātfunkcijas grafiks ir parabola.
  
Definīcijas apgabals \(D(f)\) ir visi reālie skaitļi.
Vērtību apgabalu \(E(f)\) nolasa no grafika. Tas ir atkarīgs no parabolas virsotnes \(y\) koordinātas un no zaru vērsuma.

Tālāk dotajos piemēros:
  • pirmā piemērā \(E(f) = [ -2; +\infty )\),
  • otrā - \(E(f) = (-\infty;  2]\).
Svarīgi!
Parametrs \(a\) nosaka zaru vērsumu:
ja \(a > 0\), tad zari ir uz augšu (skaties 1. piemēru);
ja \(a < 0\), tad zari ir uz leju (skat 2. piemēru).
 
Parametrs \(c\) norāda, kurā punktā parabola krusto \(y\) asi.
  
Lai konstruētu kvadrātfunkcijas grafiku:
  1. aprēķina parabolas virsotnes koordinātas: x0=b2a un \(y_0\), kuru iegūst, x0 vērtību ievietojot funkcijas formulā,
  2. atliek virsotni koordinātu plaknē, novelk parabolas simetrijas asi,
  3. nosaka zaru vērsumu,
  4. atliek krustpunktu ar \(y\) asi (kuram \(y\) koordināta ir \(c\)),
  5. un tikai tad sastāda vērtību tabulu, izvēloties nepieciešamās argumenta \(x\) vērtības.
 
Atrisinot kvadrātvienādojumu ax2+bx+c=0, var iegūt krustpunktus ar \(Ox\) asi jeb funkcijas saknes (ja tādas ir).
  • Ja diskriminants \(D>0\), tad ir divas saknes jeb divi krustpunkti,
  • ja \(D < 0\), tad krustpunktu ar \(x\) asi nav,
  • ja \(D = 0\), tad parabolas virsotne atrodas uz \(x\) ass.
 
Taču ne vienmēr šie krustpunkti ar \(Ox\) asi ir racionāli skaitļi. Ja no diskriminanta \(D\) nevar izvilkt precīzu racionālu sakni, tad grafika konstruēšanai saknes nevarēs izmantot.
Piemērs:
1. Konstruē grafiku y=x22x1
 
x0=b2a=22=1y0=12211=2
 
 Zaru vērsums uz augšu, jo \(a = 1 > 0\).
 
Grafiks \(Oy\) asi krusto punktā \((0; -1)\).
 
\(x\)
\(2\)
\(3\)
\(4\)
\(y\)
\(-1\)
\(2\)
\(7\)
Simetriski piezīmē parabolas kreiso pusi.

teo2.bmp 
Piemērs:
2. Nosaki kvadrātfunkcijas y=2x2+4x virsotnes koordinātas.
 
Redzam, ka šai funkcijai ir viegli aprēķināt saknes. Izmantosim to.
2x2+4x=0x(2x+4)=01)x=02)2x+4=0x=2x1=0;x2=2
 
Virsotnes koordinātas ir
x0=422=1y0=212+41=2
 
Tabulā pietiek ar vienu vērtību:
ja \(x = 3\), tad y=232+43=18+12=6
 
Simetriski, ja \(x = -1\), tad \(y = -6\)

teo.bmp