Teorija

No pamatskolas ir zināmas šādas trijstūra laukuma formulas:
 
Taisnleņķa trijstūris
S=ab2, kur a un b ir katetes.
Protams, taisnleņķa trijstūrim ir spēkā arī tās formulas, kuras der jebkuram trijstūrim.
Vienādmalu (regulārs) trijstūris
S=a234, kur a ir malas garums.
Jebkāds trijstūris
SΔ=absinγ2SΔ=aha2, kur a un b ir trijstūra malas,
γ ir malu a un b veidotais leņķis,
h ir augstums, kas vilkts pret malu a.
 
Izmantojot kosinusu teorēmu, var pierādīt laukuma aprēķināšanas formulu, ko sauc par Hērona formulu.
Ja a, b un c ir trijstūra malas, tad laukums ir SΔ=ppapbpc, kur p ir pusperimetrs: p=a+b+c2.
 
Matemātikas eksāmena formulu lapā var atrast gandrīz visas trijstūra laukuma formulas (izņemot taisnleņķa trijstūra laukumu): Formulas
  
Piemērs:
Aprēķini laukumu trijstūrim, kura malu garumi ir 17 cm, 39 cm, 44 cm.
  
Risinājums:
p=17+39+442=50SΔ=50501750395044=5033116==2523111123=52311=330cm2
 
Atbilde: trijstūra laukums ir 330cm2.
Svarīgi!
Lai viegli izvilktu sakni no reizinājuma, nevajag visus skaitļus sareizināt, bet tieši pretēji - vajag tos sadalīt reizinātājos.
Atceries: aa=a
Hērona formulu var izmantot trijstūra augstumu aprēķināšanā.
Piemērs:
Aprēķini trijstūra īsāko augstumu, ja tā malas ir 15 cm, 13 cm, 4 cm.
Risinājums:
Lieto divas laukuma formulas: SΔ=aha2 un SΔ=ppapbpc
Izmanto faktu, ka trijstūrī īsākais ir tas augstums, kas vilkts pret garāko malu, tātad a=15 cm.
 
SΔ=ppapbpc=161312=24cm2

Sastāda vienādojumu un atrisina to:
15h2=24|215h=48h=4815=3,2(cm)
                                   
Atbilde: trijstūra īsākais augstums ir 3,2 cm garš.
Dažreiz Hērona formulu lieto paralelograma laukuma aprēķināšanai - ja dotas tā malas un diagonāle.
Piemērs:
Dots paralelograms ar malu garumiem 17 cm un 39 cm, diagonāles garums ir 44 cm. Aprēķini paralelograma laukumu.
 
Risinājums:
Diagonāle paralelogramu sadala divos vienādos trijstūros. Izmantosim 1. piemērā iegūto rezultātu:
Sparalelogramam=2SΔ=2330=660(cm2)
 
Atbilde: paralelograma laukums ir 660cm2 
  
Interesanti: sengrieķu matemātiķis un mehāniķis Hērons dzīvojis 1. gadsimtā. Hērona darbiem lietišķajā matemātikā ir enciklopēdiska nozīme: vairākas viņa radītās mehāniskās un automātiskās ierīces ietekmējušas Eiropas zinātnes attīstību līdz pat renesanses laikmetam.
 
(Hērona formulas pierādījumu var atrast 10. klases mācību grāmatā (1) 118. lpp.)
  
Atsauce:
Evija Slokenberga, Inga France, Ilze France Matemātika 10. klasei. Rīga: Lielvārds, 2009. 279 lpp. ISBN 978-9984-11-277-0
D.Taimiņa. Matemātikas vēsture. Rīga: Zvaigzne,1990.199 lpp. (40 .lpp.)