Teorija

Ģeometrisko progresiju sauc par bezgalīgi dilstošu, ja tās kvocients \(q\) pēc moduļa ir mazāks par 1 (\(|q|<1\)).
Kvocients var būt gan negatīvs, gan pozitīvs lielums,
Piemēram, kvocients var būt 0,3;12;13;78.
 
Svarīgi!
Par bezgalīgi dilstošas ģeometriskās progresijas locekļu summu sauc skaitli, uz kuru tiecas šīs progresijas pirmo \(n\) locekļu summa, \(n\) vērtībai neierobežoti palielinoties.
 
S=b11q
 
Piemērs:
Riņķa līnijā, kuras rādiuss ir 10 cm, ievilkts kvadrāts, kvadrātā ievilkta riņķa līnija utt. bezgalīgi daudz kvadrātu un riņķa līniju (skat. zīm.) Aprēķini visu kvadrātu perimetru summu.
 
Risinājums:
Jāpārbauda, vai dota bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija.
Viegli aprēķināt: ja riņķa līnijas rādiuss ir 10 cm, tad ievilktā kvadrāta mala ir 102 cm , nākošā kvadrāta mala ir 10 cm, nākošā 52 cm utt.
 
Kvadrātu perimetri veido virkni:
402;40;202;...
 
b2b1=40402=12=22unb2b3=20240=22
Redzam, ka q=22q<1
Izmanto bezgalīgi dilstošas ģeometriskās progresijas summas formulu: S=b11q=402122=402222=80222
Atbilde: visu kvadrātu perimetru summa ir 80222 cm
 
Svarīgs bezgalīgi dilstošas ģeometriskās progresijas summas formulas pielietojums ir pāreja no bezgalīgas periodiskas decimāldaļas un parastu daļu.
 
Piemērs:
Pārveido skaitli \(0,(17)\) par parastu daļu.
  
Risinājums:
Jebkuru skaitli var uzrakstīt kā summu.
\(0,(17)=0,1717171717...=0,17+0,0017+0,000017+...\)
Summas saskaitāmie veido bezgalīgi dilstošu ģeometrisko progresiju, kurā \(q=0,01\), bet pirmais loceklis ir 0,17.
Izmanto summas formulu: S=b11q=0,1710,01=0,170,99=1799.
Atbilde:  0,17=1799
 

Formulas var atrast matemātikas eksāmena formulu lapā: formulas