Teorija

Kombinatorika
Kombinatorika ir mācība par dažādu savienojumu skaita aprēķināšanu.
Kombinatorikas uzdevumos parasti ir jānoskaidro, vai ir iespējams izveidot prasītā veida savienojumu un cik dažādos veidos to var izdarīt.
Piemērs:
1. Cik dažādus trīsciparu telefona numurus var izveidot no pieciem cipariem? (Atbilde: 125)
 
2. Cik dažādos veidos var izveidot deju pāri, ja kolektīvā  ir 3 zēni un 4 meitenes? (Atbilde: 12).
 
3. Cik dažādos veidos var izveidot dežurantu pāri, ja klasē ir palikuši : Aija, Vita, Reinis un Juris? (Atbilde: 6).
 
4. Cik dažādos veidos izvēlēties divus skolēnus, pirmo - par tāfeles tīrītāju, otro - par grīdas slaucītāju, ja klasē ir palikuši: Aija, Vita, Reinis un Juris? (Atbilde: 12)
 
Viens no veidiem, kā atrisināt kombinatorikas uzdevumus, ir apskatīt visus iespējamos elementu savienojumus, to sauc par pilno pārlasi.
 
Koka diagramma
Koka diagramma ir viens no veidiem, kā var parādīt un sistematizēt visus savienojumus. Ar koka diagrammu tiek veikta pilnā pārlase.
 
Piemērs:
Cik dažādus divciparu skaitļus var izveidot no cipariem 1; 2 un 3, ja katru izmanto tieši vienu reizi.
Risinājums:
Izveido koka diagrammu:
123.PNG
= 12
= 13
= 21
= 23
= 31
= 32
Atbilde: var iegūt 6 dažādus skaitļus.
 
Aplūkosim 3. piemēru:
Cik dažādos veidos var izveidot dežurantu pāri, ja klasē ir palikuši 4 skolēni: Aija, Vita, Reinis un Juris?
tabula.JPG
 
1. Aija un Vita
2. Aija un Reinis
3. Aija un Juris
 
 
4. Vita un Aija
5. Vita un Reinis
6. Vita un Juris
 
 
7. Reinis un Aija
8. Reinis un Vita
9. Reinis un Juris
 
 
10. Juris un Aija
11. Juris un Vita
12. Juris un Reinis
No koka diagrammas redzam, ka ir tikai 6 dežurantu pāri - Aija un Vita; Aija un Reinis; Aija un Juris; Vita un Reinis; Reinis un Juris; Vita un Juris, jo katrs pāris atkārtojas divas reizes.
 
Atrisināsim 4. piemēru: 
Cik dažādos veidos izvēlēties divus skolēnus, pirmo - par tāfeles tīrītāju, otro - par grīdas slaucītāju, ja klasē ir palikuši : Aija, Vita, Reinis un Juris?
 
Izmanto to pašu koka diagrammu, bet šajā gadījumā atbilde būs 12, jo katrs no koka diagrammā uzrādītajiem pāriem ir atšķirīgs. Ja skolēnus maina vietām, mainās to lomas.
 
Ar koka diagrammu ieguvām dažādus rezultātus, jo 3. un 4. piemērā tika aplūkoti divi atšķirīgi savienojumu veidi: kombinācijas  un variācijas.
 
Svarīgi!
Ievēro: kombinatorikas uzdevumos parasti par savienojumiem atbild uz jautājumu: cik  nevis - kādi
 
 
Tabula
Atsevišķos gadījumos, lai sistematizētu datus, ir izdevīgi veidot savienojumu tabulu.
Piemērs:
Metamo kauliņu met divas reizes un punktus sareizina. Cik dažādus reizinājumus ir iespējams iegūt?
 
123456
11 2 3 4 5 6
22 4 6 8 10 12
33 6 9 12
15
18
44 8 12 16 20 24
55 10 15 20 25 30
66 12 18 24 30 36
 
Dažādie reizinājumi ir 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 9; 10; 12; 15; 16; 18; 20; 24; 25; 30; 36 -  kopā 18 dažādi rezultāti.
Līdzīgu tabulu var veidot uzmesto punktu summai, skat. portālā uzdevumus varbūtību teorijā.
    
Atsauce:
Matemātika 9.klasei/Ilze France,Gunta Lāce, Ligita Pickaine. -Rīga: Lielvārds, 2009. - 270 lpp. - izmantotā literatūra: 98.-106. lpp.