Teorija

Par variāciju no \(n\) elementiem pa \(m\) elementiem (mn) sauc sakārtotu dotās \(n\) elementu kopas \(m\) elementu izlasi. Katras divas variācijas savstarpēji atšķiras vai nu ar pašiem elementiem, vai to secību.
Variāciju skaitu no \(n\) elementiem pa \(m\) elementiem apzīmē ar Anm (lasa: variācijas no \(n\) elementiem pa \(m\) elementiem).
 
a.bmp
 m parāda variācijas elementu skaitu (cik elementus izvēlas)
 
 
                        
n parāda dotās kopas elementu skaitu
 
Variācijas aprēķina pēc formulas Anm=n!(nm)!
Piemērs:
Cik divciparu skaitļus var izveidot no cipariem \(2\); \(3\); \(4\); \(5\); \(6\) (ja cipari neatkārtojas)?
 
Risinājums:
Izvēlas \(2\) elementus no \(5\) elementu kopas.
Šajā gadījumā \(n = 5\) (jo dotā kopa ar pieciem cipariem), bet \(m = 2\) (jo jāizvēlas izlase ar diviem cipariem).
Jāaprēķina A52
 
Pēc formulas: A52=5!52!=5!3!=543!3!=543!3!=20
Atbilde: no dotajiem cipariem var izveidot \(20\) divciparu skaitļus ar dažādiem cipariem.
 
Piemērs:
Doti trīs dažādu krāsu elementi: ELLLL.PNG. Cik veidos var izvēlēties divus no tiem, ja ir svarīga to kārtība?
 
Risinājums:
Šo uzdevumu ir iespējams atrisināt divējādi: ar pilno pārlasi vai ievietojot dotos lielumus variāciju formulā.
 
1) ELLLL1.PNG
2) ELLLL2.PNG
3) ELLLL4.PNG     
4) ELLLL3.PNG
5) ELLLL5.PNG
6) ELLLL6.PNG        
 
Kā redzams pēc grafiskā attēlojuma, tad divus no dotajiem elementiem var izvēlēties \(6\) dažādos veidos.
Ievietojot dotos elementus formulā (\(n = 3\) un \(m= 2\)), iegūst tādu pašu rezultātu.
A32=3!(32)!=3!1!=1231=61=6
Piemērs:
Pie galda palikušas \(6\) brīvas vietas. Cik veidos šajās vietās var apsēsties \(4\) cilvēki?
 
Risinājums:
Pamatkopu veido \(6\) brīvas vietas, tātad \(n = 6\), un izlasi veido \(4\) cilvēki, tātad \(m = 4\). Tā kā ir svarīgi gan tas, kādā kārtībā šie \(4\) cilvēki apsēžas, izlašu skaits ir vienāds ar variāciju skaitu no \(6\) elementiem pa \(4\) elementiem, t. i., A64=6!64!=6!2!=2!34562!=3456=360.
 
Atbilde: Pie galda sešās sēdvietās \(4\) cilvēki var sasēsties \(360\) dažādos veidos
Piemērs:
Vienkāršot izteiksmi!
 
a) An13=(n1)!(n13)!=(n1)!(n4)!=(n4)!(n3)(n2)(n1)(n4)!=(n3)(n2)(n1)
 
b) Ann1=n!(n(n1))!=n!1!=n!1=n!
(Atceries, \(0! = 1\) un \(1! = 1\))
 
c) Ann=n!(nn)!=n!0!=n!1=n!      
 
Aprēķināt izteiksmes vērtību!
  A74A53A52=7!(74)!5!(53)!5!(52)!=7!3!5!2!5!3!=3!45673!2!3452!3!453!==4567345(45)=8406020=78020=39
  
Atsauce:
Algebra vidusskolai /Valdis Ziobrovskis, Biruta Siliņa - Rīga: Zvaigzne ABC, 2001. - 326. -329. lpp
Algebra 10.-12. klasei 3. daļa /Vitanda Sakse - Rīga: Pētergailis, 200. - 70.-71. lpp
Palīgs vidusskolēnam - Algebra 4. daļa /Inese Lazdiņa, Elizabete Mangule - Rīga: Raka, 2006. - 31.-33. lpp