Sinusu teorēma. Trijstūru malas ir proporcionālas to pretleņķu sinusiem:
Sinusu teorēmu var papildināt.
, kur \(R\) ir trijstūrim apvilktās riņķa līnijas rādiuss.
Izsakot rādiusu, iegūst
Vienlaicīgi lieto vienas malas un tās pretleņķa sinusa attiecību.
Teorēmu par apvilktas riņķa līnijas rādiusu formulē, izsakot trijstūra malu.
Jebkuras trijstūra malas garums ir vienāds ar apvilktās riņķa līnijas diametra un šīs malas pretleņķa sinusa reizinājumu: .
Pierādīsim šo teorēmu.
Dots: Trijstūris \(ABC\), kur \(a\) - mala, - malas ar pretleņķis.
Jāpierāda:
Pierādījums
Aplūko trīs gadījumus: trijstūris \(ABC\) šaurleņķa, platleņķa, taisnleņķa.
1) \(ABC\) - šaurleņķa trijstūris,
Novilksim diametru \(BE\). Tad , kā ievilkti leņķi, kas balstās uz vienu un to pašu loku.
No taisnleņķa trijstūra \(EBC\), , iegūst , tātad arī un sekojoši .
2) \(ABC\) - platleņķa trijstūris,
Novilksim diametru \(EC\). No taisnleņķa trijstūra \(EBC\) seko, ka , tātad .
Salīdzināsim leņķus un .
Leņķi un ir ievilkti leņķi. Tāpēc
Tas nozīmē, ka
3) \(ABC\) - taisnleņķa trijstūris,
Tad , tātad .
Izpildās, ka .
Tas bija jāpierāda.
Piemērs:
Aprēķini ap trijstūri apvilktās riņķa līnijas rādiusu, ja viens no tā leņķiem ir , bet šī leņķa pretmala ir .
Risinājums:
Atbilde:
Apvilktās riņķa līnijas rādiuss ir .
Matemātika I eksāmena formulu lapā šī formula ir dota, neizsakot \(R\).