Hērona formulas pierādījums — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

ONLINE VIDEO KURSS

"MATEMĀTIKA 11. KLASEI"

Uzdevums matemātikas entuziastiem

Izmantojot kosinusu teorēmu, var pierādīt laukuma aprēķināšanas formulu, ko sauc par *Hērona formulu.

Ja \(a\), \(b\) un \(c\) ir trijstūra malas, tad laukums

S_{Δ} = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}

, kur

p = \frac{a + b + c}{2}

- pusperimetrs.

Pierādīsim šo formulu.

Pierādījumā izmantosim jau zināmo laukuma formulu

S_{Δ} = \frac{1}{2} ab \sin γ

un kosinusu teorēmu.

Dots: \(a\), \(b\) un \(c\) ir trijstūra malas, malas \(a\) un \(b\) veido leņķi

γ

Jāpierāda:

S_{Δ} = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}

, kur

p = \frac{a + b + c}{2}

- pusperimetrs.

Pierādījums

Pēc kosinusu teorēmas

\begin{array}{l} c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab \cos γ \\ \cos γ = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 ab} \end{array}

Izmantojam trigonometrisko pamatidentitāti

\sin^{2} γ + \cos^{2} γ = 1

Izsaka

\sin^{2} γ = 1 - \cos^{2} γ = (1 - \cos γ) (1 + \cos γ)

\begin{array}{l} \sin^{2} γ = (1 - \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 ab}) (1 + \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 ab}) \\ \sin^{2} γ = (\frac{2 ab - a^{2} - b^{2} + c^{2}}{2 ab}) (\frac{{2 ab + a}^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 ab}) \\ \sin^{2} γ = (\frac{c^{2} - (a^{2} - 2 ab + b^{2})}{2 ab}) (\frac{a^{2} + 2 ab + b^{2} - c^{2}}{2 ab}) \\ \sin^{2} γ = (\frac{c^{2} - {(a - b)}^{2}}{2 ab}) (\frac{{(a + b)}^{2} - c^{2}}{2 ab}) \end{array}

Vēlreiz lietojam kvadrātu starpības formulu

x^{2} - y^{2} = (x - y) (x + y)

\begin{array}{l} \sin^{2} γ = (\frac{(c - (a - b)) (c + (a - b))}{2 ab}) (\frac{((a + b) - c) ((a + b) + c)}{2 ab}) \\ \sin^{2} γ = (\frac{(c - a + b) (c + a - b)}{2 ab}) (\frac{(a + b - c) (a + b + c)}{2 ab}) \\ \sin^{2} γ = \frac{1}{4 a^{2} b^{2}} (c - a + b) (c + a - b) (a + b - c) (a + b + c) \end{array}

Mums ir zināms, ka malu summa ir perimetrs vai divi pusperimetri:

a + b + c = 2 p

Tas nozīmē, ka

\begin{array}{l} c - a + b = c - a + b - a + a = 2 p - 2 a \\ c + a - b = c + a - b - b + b = 2 p - 2 b \\ a + b - c = a + b - c - c + c = 2 p - 2 c \end{array}

\begin{array}{l} \sin^{2} γ = \frac{1}{4 a^{2} b^{2}} (2 p - 2 c) (2 p - 2 b) (2 p - 2 a) 2 p \\ \sin^{2} γ = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{4 a^{2} b^{2}} (p - c) (p - b) (p - a) p \\ \sin^{2} γ = \frac{4}{a^{2} b^{2}} (p - c) (p - b) (p - a) p \\ \sin γ = \sqrt{\frac{4}{a^{2} b^{2}} (p - c) (p - b) (p - a) p} \\ \sin γ = \frac{2}{a \cdot b} \sqrt{(p - c) (p - b) (p - a) p} \end{array}

Ievietojam iegūto sinusa izteiksmi trijstūra laukuma formulā:

\begin{array}{l} S_{Δ} = \frac{1}{2} ab \sin γ \\ S_{Δ} = \frac{1}{2} ab \cdot \frac{2}{a \cdot b} \sqrt{(p - c) (p - b) (p - a) p} \\ S_{Δ} = \sqrt{(p - c) (p - b) (p - a) p} \end{array}

jeb

S_{Δ} = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}

Tas bija jāpierāda

*Interesanti: sengrieķu matemātiķis un mehāniķis Hērons dzīvojis 1. gadsimtā. Hērona darbiem lietišķajā matemātikā ir enciklopēdiska nozīme: vairākas viņa radītās mehāniskās un automātiskās ierīces ietekmējušas Eiropas zinātnes attīstību līdz pat renesanses laikmetam.

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

ONLINE VIDEO KURSS

"MATEMĀTIKA 10. KLASEI"

PALĪGSMĀCĪBĀS.LV

10. Hērona formulas pierādījums

Teorija