Četrstūra laukuma formula ar diagonālēm. Pierādījums — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

10. jūnijs - MATEMĀTIKA I

EKSĀMENS VIDUSSKOLAI

S_{paral.} = \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{2} \sin β

, kur

d_{1}, d_{2}

ir diagonāles, diagonāles veido leņķi

β

Pierādīsim šo sakarību, izmantojot trijstūra laukuma formulu:

S_{Δ} = \frac{1}{2} ab \sin γ

, kur

γ

ir leņķis starp malām \(a\) un \(b\).

Paralelograma diagonāles krustpunktā dalās uz pusēm. Paralelograma laukums ir četru trijstūru laukumu summa, kur trijstūri pa pāriem ir vienādi (pēc pazīmes mlm).

\begin{array}{l} S_{Δ DOC} = S_{Δ AOB} = \frac{1}{2} OD \cdot OC \cdot \sin β \\ S_{Δ BOC} = S_{Δ AOD} = \frac{1}{2} OB \cdot OC \cdot \sin (180 ° - β) \\ \sin (180 ° - β) = \sin β \\ OD = OB = \frac{d_{1}}{2} \\ OC = \frac{d_{2}}{2} \\ S_{Δ DOC} = S_{Δ AOB} = \frac{1}{2} \cdot \frac{d_{1}}{2} \cdot \frac{d_{2}}{2} \cdot \sin β \\ S_{Δ BOC} = S_{Δ AOD} = \frac{1}{2} \cdot \frac{d_{1}}{2} \cdot \frac{d_{2}}{2} \cdot \sin β \end{array}

Ievērojam, ka visu četru trijstūru laukumi ir vienādi.

Saskaitot visu četru trijstūru laukumus (vai pareizinot vienu laukumu ar 4), iegūst paralelograma laukumu:

\begin{array}{l} S_{ABCD} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{d_{1}}{2} \cdot \frac{d_{2}}{2} \cdot \sin β \\ S_{ABCD} = \frac{4 \cdot d_{1} \cdot d_{2}}{2 \cdot 2 \cdot 2} \cdot \sin β \\ S_{ABCD} = \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{2} \cdot \sin β \end{array}

Laukuma formula ar diagonālēm ir spēkā jebkuram izliektam četrstūrim

S = \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{2} \sin β

, kur

d_{1}, d_{2}

ir diagonāles, diagonāles veido leņķi

β

Pierādījums ir līdzīgs iepriekšējam.

Patvaļīgam četrstūrim diagonāles krustpunktā nedalās uz pusēm. Tāpēc diagonāļu nogriežņus apzīmēsim ar \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), kur

d_{1} = a + c, d_{2} = b + d

Uzrakstām četrstūra laukumu kā četru trijstūru laukumu summu, izmantojam, ka

\sin (180 ° - β) = \sin β

\begin{array}{l} S = \frac{1}{2} \sin β \cdot (ab + bc + cd + da) \\ S = \frac{1}{2} \sin β \cdot (a (b + d) + c (b + d)) \\ S = \frac{1}{2} \sin β \cdot (a + c) (b + d) \\ S = \frac{1}{2} d_{1} \cdot d_{2} \cdot \sin β \end{array}

Tas bija jāpierāda.

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

ONLINE VIDEO KURSS

"MATEMĀTIKA 11. KLASEI"

PALĪGSMĀCĪBĀS.LV

5. Četrstūra laukuma formula ar diagonālēm. Pierādījums

Teorija