4. Inversās funkcijas eksistence. Kvadrātfunkcija

Skicējam doto funkciju.

 

Savā definīcijas apgabalā $\left(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }\right)$ šī funkcija nav monotona. Intervālā $(-\mathrm{\infty };-1]$ tā ir dilstoša, bet intervālā $[-1;+\mathrm{\infty })$ tā ir augoša.

Lai iegūtu inverso funkciju, dotā funkcija ir jāaplūko kādā definīcijas apgabala intervālā.

  

1) Izvēlēsimies intervālu, kurā funkcija $y={\left(x+1\right)}^2$ ir augoša, uzskatīsim, ka definīcijas apgabals \(D(f)=\)$[-1;+\mathrm{\infty })$.

Lai iegūtu inversās funkcijas izteiksmi, no vienādības $y={\left(x+1\right)}^2$ izsaka \(x\):

 

Katrai \(y\) vērtībai no intervāla $[0;+\mathrm{\infty })$ atbilst divas \(x\) vērtības, bet, tā kā dotā funkcija tiek aplūkota tikai augšanas intervālā, tad izteiksmē $x=\pm \sqrt{y}-1$ pirms kvadrātsaknes jāņem plusa zīme. Tādējādi ar izteiksmi $x=\sqrt{y}-1$ iegūstam viennozīmīgu atbilstību starp \(y\) un atbilstošajām \(x\) vērtībām.

 

Apzīmējot šajā izteiksmē argumentu ar \(x\) un funkciju ar \(y\), iegūstam inversās funkcijas izteiksmi $y=\sqrt{x}-1$.

Tās grafiku iegūst, attēlojot funkcijas $y={\left(x+1\right)}^2$ grafiku intervālā $[-1;+\mathrm{\infty })$ simetriski pret taisni \(y=x\).

 

 

Inversās funkcijas $y=\sqrt{x}-1$ definīcijas apgabals ir  $[0;+\mathrm{\infty })$ (dotās funkcijas vērtību apgabals), bet vērtību apgabals ir $[-1;+\mathrm{\infty })$ (tas atbilst mūsu izvēlētajam dotās funkcijas definīcijas apgabalam).