Tilpums kā ķermeņa paralēlu šķēlumu funkcijas integrālis
Līdzīgi kā plaknes figūras laukuma formulu, arī telpiska ķermeņa tilpuma formulu iegūst kā integrālsummas robežu.
Pieņemsim, ka mums ir kāds telpisks ķermenis, kurš sākas punktā \(x=a\) un beidzas punktā \(x=b\).
No intervāla \([a;b]\) izvēlamies patvaļīgu punktu \(x\) un novelkam \(Ox\) asij perpendikulāru plakni. Iegūstam ķermeņa šķēlumu ar plakni. Ķermeņa šķēluma jeb šķērsgriezuma laukums ir atkarīgs no \(x\) izvēles, tātad tas nav konstants lielums, bet gan funkcija ar argumentu \(x\). Apzīmēsim šķērsgriezuma laukuma funkciju ar \(S(x).\)
Ja intervālu \([a;b]\) sadala \(n\) vienādās daļas, iegūst \(n\) šķērsgriezumus un \(n\) joslas (cilindrus). Ja ķermeņa tilpums ir sadalīts pietiekami mazās daļās, var pieņemt, ka ķermeņa tilpums ir vienāds ar šo joslu tilpumu summu. Jo mazākās daļās sadalīts intervāls \([a;b] \), jo tilpums precīzāks. Tāpēc par ķermeņa tilpumu pieņem integrālsummas robežu, kad , t.i. noteikto integrāli.
Ja ir zināma funkcija, kas apraksta šķērsgriezuma laukumu, var iegūt tilpuma formulu:
Lai robeža eksistētu, šķēluma laukuma funkcijai \(S(x)\) jābūt nepārtrauktai.