Ja neizpildās vismaz viens no funkcijas nepārtrauktības nosacījumiem a) vai b), tad funkcija ir pārtraukta punktā \(x_0\) un šādus punktus sauc par funkcijas pārtraukuma punktiem.
Atceries!
a) Funkciju \(y=f(x)\) sauc par nepārtrauktu punktā \(x_0\), ja bezgalīgi mazam argumenta pieaugumam atbilst bezgalīgi mazs funkcijas pieaugums, t.i., ja .
b) Funkciju \(y=f(x)\) sauc par nepārtrauktu punktā \(x_0\), ja ir spēkā vienādība .
Punktu \(x_0\) sauc par funkcijas \(y=f(x\)) pārtraukuma punktu, ja izpildās vismaz viens no šādiem nosacījumiem:
1) funkcija nav definēta punktā \(x_0\);
2) funkcijai punktā \(x_0\) ir definēta, bet vienpusējās robežas nav vienādas: ;
3) funkcijai eksistē robeža, kad , taču tā nav vienāda ar funkcijas vērtību punktā \(x_0\). jeb
Pārtraukuma punktu \(x_0\) sauc par pirmā veida pārtraukuma punktu, ja šajā punktā eksistē abas vienpusējās robežas un tās ir galīgas.
Pirmā veida pārtraukuma punktu \(x_0\) sauc par novēršamu, ja abas vienpusējās robežas ir galīgas un vienādas: .
Pārtraukuma punktu \(x_0\) sauc par otrā veida pārtraukuma punktu, ja vismaz viena no vienpusējām robežām, kad , neeksistē vai ir bezgalīga.
Piemērs:
1. zīmējumā funkcijai \(x_0\) ir pārtraukuma punkts, jo funkcija punktā \(x_0\) nav definēta.
Punkts \(x_0\) ir pirmā veida un novēršams pārtraukuma punkts, jo abas vienpusējās robežas ir galīgas un vienādas:
Piemērs:
2. zīmējumā funkcijai \(x_0\) ir pārtraukuma punkts, jo vienpusējās robežas nav vienādas: .
Tas ir pirmā veida pārtraukuma punkts, jo vienpusējās robežas ir galīgas.
Piemērs:
3. zīmējumā funkcijai \(x_0\) ir pārtraukuma punkts, jo funkcijai eksistē robeža, bet . Tas ir pirmā veida, novēršams pārtraukuma punkts, jo vienpusējās robežas ir galīgas un vienādas: .
Ja funkcijai punktā \(x=a\) ir pārtraukums, tad, lai noskaidrotu pārtraukuma raksturu, jāatrod funkcijas robeža no kreisās puses un no labās puses, kad .
Piemērs:
Noskaidro pārtraukuma punkta veidu funkcijai .
Atrisinājums.
Dotā funkcija nav definēta punktā , tātad tas ir funkcijas pārtraukuma punkts. Lai noteiktu tā veidu, aprēķina vienpusīgās robežas, kad :
Tā kā abas vienpusējās robežas ir bezgalīgas, punkts ir dotās funkcijas otrā veida pārtraukuma punkts. Otrā veida pārtraukuma punkts nevar būt novēršams.