1. Lineāru vienādojumu sistēmu pētīšana

Divu lineāru vienādojumu sistēmai, kuru vispārīgā veidā var pierakstīt:

\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}

var būt viens atrisinājums;
var būt bezgalīgi daudz atrisinājumu;
var nebūt neviens atrisinājums.

Lineāras sistēmas vienīgo atrisinājumu parasti iegūst ar saskaitīšanas metodi.

\begin{array}{l} \underline{\{\begin{cases} 2 x + y = 11 \\ 3 x - y = 9 \end{cases} | +} \\ (2 x + y) + (3 x - y) = 11 + 9 \\ 5 x = 20 \\ \{\begin{cases} x = 4 \\ y = 3 \end{cases} \end{array}

Aplūkosim vienādojumu sistēmu, kurā kreisās puses ir vienādas, bet labās puses atšķiras.

\{\begin{cases} 2 x + 3 y = 3 \\ 2 x + 3 y = 1 \end{cases}

Šai sistēmai nav atrisinājuma, jo vienādām izteiksmēm vienlaicīgi nevar būt dažādi rezultāti.

Aplūkosim vienādojumu sistēmu:

\{\begin{cases} 4 x + 6 y = 6 \\ 2 x + 3 y = 3 \end{cases}

Pirmo rindiņu var izdalīt ar \(2\), iegūst sistēmu ar diviem vienādiem vienādojumiem:

\{\begin{cases} 2 x + 3 y = 3 \\ 2 x + 3 y = 3 \end{cases}

Nav jēgas vienu vienādojumu atkārtot divas reizes. Secinām, ka tas ir viens vienādojums ar diviem nezināmiem, un tam ir bezgalīgi daudz atrisinājumu, jo mainot

x

vērtību, mainīsies arī

y

vērtība.

Vienādojuma vispārīgais atrisinājums ir:

(x; \frac{3 - 2 x}{3}) x \in R

Atsevišķie atrisinājumi ir, piemēram:

\{\begin{cases} x = 0 \\ y = 1 \end{cases} \{\begin{cases} x = 1 \\ y = \frac{1}{3} \end{cases}

Ja dota lineāru vienādojumu sistēma

\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}

, tad
1) sistēmai ir viens atrisinājums, ja

\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}

2) sistēmai nav atrisinājuma, ja

\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}

3) sistēmai ir bezgalīgi daudz atrisinājumu, ja

\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}

(Risinājuma paraugus skaties uzdevumu atbilžu soļos.)

Iepriekšējā tēma

Atgriezties tēmā

Nākamā tēma

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

1. Lineāru vienādojumu sistēmu pētīšana

Teorija