Nevienādība ar diviem mainīgajiem — teorija. Matemātika, 12. klase.

Nevienādības ar diviem nezināmiem lielumiem vispārīgais veids ir

F (x, y) > 0

(nevienādības zīmes vietā var būt arī

<

\leq

\geq

Piemēram:

x - 3 y > 4

x^{2} + y^{2} \leq 4

xy - 6 x \geq 1

Šādas nevienādības viens no atrisinājumiem ir reālu skaitļu pāris

(a; b)

, kas apmierina doto nevienādību, t. i., kuram ir pareiza skaitliska nevienādība

F (a; b) > 0

(vai ar citu no nevienādības zīmēm).

Parasti ir bezgalīgi daudz atrisinājumu un šīs nevienādības risina grafiski. Šādu nevienādību atrisinājumu kopas ģeometriskais attēls ir plaknes figūra.

Lai atrisinātu šādas nevienādības:

izsaka $y$ kā $x$ funkcija (izņemot gadījumu, kad tā ir riņķa līnija vai reizinājums) (skat. teoriju: Vienādojums ar diviem mainīgajiem);
nevienādības zīmi aizstāj ar vienādības zīmi;
konstruē šīs funkcijas grafiku;
iesvītro nevienādībā prasīto plaknes daļu;
izdara secinājumus par robežas piederību atrisinājumam.

Šo uzdevumu atbilde ir iekrāsotā plaknes daļa.

Piemērs:

Nosaki nevienādības

2 x + y > - 2

atrisinājumu kopu.

Risinājums.

Izsaka

y > - 2 x - 2

Redzam, ka dota lineāra funkcija

y = - 2 x - 2

, kuras grafiks ir taisne. Sastāda vērtību tabulu, iegūst grafiku.

Iekrāso to plaknes daļu, kura atrodas virs taisnes, jo ir spēkā nevienādība

y > f (x)

Stingrām nevienādībām (<; >) grafiku attēlo ar pārtrauktu līniju, jo funkcijas grafikam piederošie punkti nepieder nevienādības atrisinājumam.

Atbilde: Atrisinājumu veido iekrāsoto punktu kopa, taisnes

y = - 2 x - 2

punkti nepieder atbildei.

Piemērs:

Nosaki nevienādības

x^{2} + 4 x \leq y - 2

atrisinājumu kopu.

Risinājums.

Izsaka

y

\begin{array}{l} - y \leq - x^{2} - 4 x - 2 | : (- 1) \\ y \geq x^{2} + 4 x + 2 \end{array}

Uzrakstot kā vienādību, var redzēt, ka ir dota kvadrātfunkcija

y = x^{2} + 4 x + 2

. Konstruē parabolu un iekrāso visu to punktu koordinātas, kuras atrodas virs parabolas (skat zīm.). Figūras robeža pieder atrisinājumu kopai (jo zīme