Teorija

Aplūkosim MIP pielietojumu apgalvojumā par dalīšanos.
Piemērs:
Pierādi, ka katram naturālam skaitlim n izteiksme 7n1 dalās ar \(6\).
 
Apgalvojumu "7n1 dalās ar \(6\)" apzīmē ar \(A(n).\)
 
1) Indukcijas bāze.
Izteikums \(A(1)\) ir patiess, jo \(7-1=6\), kas dalās ar \(6\).
 
2) Induktīvais pieņēmums.
Pieņem, ka brīvi izvēlētam naturālam skaitlim \(k\) izteikums \(A(k)\) ir patiess, t.i., 7k1 dalās ar \(6\).
 
3) Induktīvā pāreja.
Pierādīsim, ka patiess ir izteikums \(A(k+1\)), t.i., 7k+11 dalās ar \(6\).
Izmanto pakāpju īpašību an+m=anam
7k+11=7k711=77k1
Ievēro, ka 77n=67n+17n
Tātad
77k1=67k¯+7k1¯¯
 
Pārbaudam, vai iegūtā izteiksme dalās ar \(6\)?
 
67k dalās ar \(6\), jo satur reizinātāju \(6\).
 
7k1 dalās ar \(6\) pēc induktīvā pieņēmuma.
Tātad summa  67k+7k1 dalās ar \(6\).
 
Redzam, ka no izteikuma \(A(k)\) patiesuma seko \(A(k+1\)) patiesums.
Esam pierādījuši \(A(n)\) patiesumu visām \(n\) vērtībām.
 
Pamēģini patstāvīgi pierādīt apgalvojumu:4n1 dalās ar \( 3\) jebkuram naturālam \(n\).
(Atrisinājums dots skolotāja metodiskajos materiālos)
 
Atsauce:
B. Āboltiņa, D. Kriķis, K. Šteiners. matemātika 10. klasei. Zvaigzne ABC
Materiālu sagatavoja L. Baltiņa, JTV skolotāja