Teorija

Piemērs, kurā izmanto matemātiskās indukcijas principu.
Piemērs:
Pierādi, ka katram naturālam n izpildās apgalvojums 112+123+...+1n(n+1)=nn+1
Apzīmē doto apgalvojumu ar \(A(n).\)
 
Indukcijas bāze. Ja \(n=1\), tad 112=11+1. Redzams, ka vienādība ir patiesa 12=12.
 
Induktīvais pieņēmums. Pieņemsim, ka fiksētam naturālam skaitlim \(k\) apgalvojums \(A(k)\) ir patiess, t.i.,
112+123+...+1k(k+1)=kk+1.
 
Induktīvā pāreja. Izmantojot induktīvo pieņēmumu, pierādīsim atsevišķo apgalvojumu \(A(k+1):\)
112+123+...+1(k+1)((k+1)+1)=k+1k+1+1 jeb, vienkāršojot,
112+123+...+1(k+1)((k+2)=k+1k+2 
Aplūkojam vienādības kreiso pusi, pievienojot pirmspēdējo saskaitāmo,
 
112+123+...1k(k+1)+1(k+1)((k+1)+1)==112+123+...1k(k+1)+1(k+1)(k+2)
 
Izmanto induktīvo pieņēmumu:
kk+1+1(k+1)(k+2)==kk+1(k+2+1(k+1)(k+2)==kk+2+1k+1k+2==k2+2k+1k+1k+2==k+12k+1k+2==k+1k+1k+1k+2==k+1k+2,
ko arī vajadzēja pierādīt.
 
Gan indukcijas bāze, gan pāreja ir pierādītas.
Tāpēc pēc matemātiskās indukcijas principa vispārīgais apgalvojums \(A(n)\) ir pierādīts.
 
Pamēģini pastāvīgi pierādīt apgalvojumu
123+134+...+1n+1n+2=n2n+2 jebkuram naturālam \(n\).
(Atrisinājums dots skolotāja metodiskajos materiālos)
 
Atsauce:
http://www.lanet.lv/info/matind/mim-03.htm
Materiālu sagatavoja L. Baltiņa, JTV skolotāja