Teorija

Piemērs, kurā izmanto MIP
Piemērs:
Virkne an uzdota rekurenti: a1=1 un an+1=an1n(n+1)
Pierādīt, ka šīs virknes vispārīgo locekli an var definēt ar formulu an=1n.
Indukcijas bāze. Formulā an=1n ievietojot \(n=1\), iegūst a1=11=1. Tātad , ja \(n=1\), formula ir pareiza.
 
Induktīvais pieņēmums. Pieņem, ka formula ir pareiza, ja \(n=k\). Tātad ak=1k.
Induktīvā pāreja. Pierādīsim, ka formula ir pareiza arī tad, ja \(n=k+1\), t.i., ak+1=1k+1.
 
Pēc dotā ak+1=ak1k(k+1). Tā kā pēc induktīvā pieņēmuma ak=1k, tad iegūstam, ka
ak+1=1k1k(k+1)ak+1=1k(k+11k(k+1)ak+1=k+11kk+1ak+1=kkk+1ak+1=1k+1
 
Tādējādi, lietojot matemātiskās indukcijas metodi, esam pierādījuši, ka visām naturālām \(n\) vērtībām formula an=1n ir pareiza.
 
Pamēģini pierādīt patstāvīgi, ka virkni  an var definēt ar formulu an=2n12, ja virkne ir uzdota rekurenti: a1=1 un an+1=an+8n.
(Atrisinājums dots skolotāja metodiskajos materiālos)
 
Atsauce:
B. Āboltiņa, D. Kriķis, K. Šteiners. matemātika 10. klasei. Zvaigzne ABC
Materiālu sagatavoja L. Baltiņa, JTV skolotāja