Teorija

Piemērs, kurā izmanto matemātiskās indukcijas principu.
 
Pierādīt, ka katram naturālam \(n\)
\(1+3+5+7+…+(2n+1)=(n+1)² \) (nosauksim to par apgalvojumu \(A(n\))).

Lieto matemātiskās indukcijas principu:
1) Indukcijas bāze. Ja \(n=1\), tad vienādība \(A(1)\) ir patiesa, jo \(1+3=4\), t.i., \(1=3=2²\) ;

2) Induktīvais pieņēmums. Izvēlēsimies kaut kādu naturālu skaitli \(k\) un pieņemsim, ka vienādība \(A(k)\) ir pareiza, t.i., ka \(1+3+5+…+(2k+1)=(k+1)²\)
3) Induktīvā pāreja. Pierādīsim, ka tad pareiza ir arī vienādība \(A(k+1\)), t.i.,
\(1+3+5+…+(2(k+1)+1)=((k+1)+1)²  \)
(pierādāmo vienādību \(A(k+1\)) iegūst, ja vienādībā \(A(n\)) aizstāj \(n\) ar \(k+1\)).
 
Lai vieglāk izprast metodi, risinājumu pierakstīsim tabulas veidā.
Mērķis: pārveidojumu rezultātā, iegūt vienādas abas puses. Ievēro, ka pārveidot var pēc nepieciešamības gan kreiso, gan labo pusi.
 
Vienādības kreisā puseLabā puse
\(1+3+5+…+(2(k+1)+1), \)tas ir
\(1+3+5+…+(2k+2+1)\)
\(1+3+5+…+(2k+3)\)
 
Pievieno pirmspēdējo saskaitāmo 
1+3+5+…+(2k+1)\(+(2k+3)\)
 
No induktīvās pieņēmuma izriet,
ka
1+3+5+…+(2k+1) = (k+1)²
 
Kreisajā pusē iegūst
(k+1)²\(+(2k+3)\)
 
Atver iekavas
\(k²+2k+1+2k+3\)
\(k²+4k+4\)
\(((k+1)+1)²\)
 
Atver iekavas
 
\((k+1+1)²\)
\((k+2)² \)
 
 
 
 
 
 
 
 
Ja atver iekavas
\(k²+4k+4\)
Redzam, ka abās pusēs ir iegūtas vienādas izteiksmes.

Tātad apgalvojums "\(1+3+5+…+(2n+1)=(n+1)²\) visiem naturāliem \(n\)" ir pierādīts.
 
 
Pārveidojumos izmantoja summas kvadrāta formulu \((a+b)²=a²+2ab+b².\)

Pierādījumu parasti noformē īsāk, neizmantojot tabulu.
 
1) Bāze. vienādība \(A(1\)) ir patiesa, jo \(1+3=2²\);
2) Induktīvais pieņēmums. \(1+3+5+…+(2k+1)=(k+1)²\)
 
3) Induktīvā pāreja.\(1+3+5+…+(2k+1)+(2k+3)=(k+1)²+2k+3=k²+2k+1+2k+3=(k+2)².\)
 
Pamēģini patstāvīgi pierādīt apgalvojumu \(1+3+5+7+…+(2n-1)=n²\) jebkuram naturālam \(n\).
 
Atsauce:
http://www.lanet.lv/info/matind/mim-03.htm
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, JTV skolotāja