Uzdevums:

5p.
Pierādīt, ka katram naturālam n izpildās apgalvojums 116+1611+...+15n4(5n+1)=n5n+1.
Papildini doto pierādījumu ar skaitļiem vai burtiem!
 
Doto apgalvojumu apzīmē ar \(A(n).\)
 
Indukcijas bāze. Ja \(n=1\), tad
116=151+i16=16.
Redzams, ka vienādība ir patiesa.
 
Induktīvais pieņēmums. Pieņemsim, ka fiksētam naturālam skaitlim \(k\) apgalvojums \(A(k)\) ir patiess, t.i.,
116+1611+...+15k4(5k+1)=i5k+1
 
Induktīvā pāreja. Izmantojot induktīvo pieņēmumu, pierādīsim atsevišķo apgalvojumu \(A(k+1):\)
116+1611+...+15k+14(5k+1+1)=k+15k+1+1 jeb, vienkāršojot,
 
116+1611+...+15k+i(5k+6)=k+15k+6
 
Uzrakstām vienādības kreiso pusi, pievienojot arī pirmspēdējo saskaitāmo,
116+1611+...15k4(5k+1)+15k+1(5k+6)
 
Izmanto induktīvo pieņēmumu:
i5k+1+15k+1(5k+6)=
 
=k(5k+65k+1+15k+1(5k+6)==5k2+6k+15k+1(5k+6)=...
 
Kvadrāttrinomu sadala reizinātājos
5k2+6k+1=0k1=15;k2=1
5k2+6k+1=5k+15k+1
5k2+6k+1=ik+1k+1
 
5k2+6k+15k+1(5k+6)==5k+1(k+1)5k+1(5k+6)==k+15k+6
ko arī vajadzēja pierādīt.
 
Gan indukcijas bāze, gan pāreja ir pierādītas.
Tāpēc pēc matemātiskās indukcijas principa vispārīgais apgalvojums \(A(n)\) ir pierādīts.
 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, JTV skolotāja
Lai iesniegtu atbildi un redzētu rezultātus, Tev nepieciešams autorizēties. Lūdzu, ielogojies savā profilā vai reģistrējies portālā!