2. MIP piemērs. Dalīšanās — teorija. Matemātika, 10. klase.

Aplūkosim MIP pielietojumu apgalvojumā par dalīšanos.

Piemērs:

Pierādi, ka katram naturālam skaitlim n izteiksme

7^{n} - 1

dalās ar \(6\).

Apgalvojumu "

7^{n} - 1

dalās ar \(6\)" apzīmē ar \(A(n).\)

1) Indukcijas bāze.

Izteikums \(A(1)\) ir patiess, jo \(7-1=6\), kas dalās ar \(6\).

2) Induktīvais pieņēmums.

Pieņem, ka brīvi izvēlētam naturālam skaitlim \(k\) izteikums \(A(k)\) ir patiess, t.i.,

7^{k} - 1

dalās ar \(6\).

3) Induktīvā pāreja.

Pierādīsim, ka patiess ir izteikums \(A(k+1\)), t.i.,

7^{k + 1} - 1

dalās ar \(6\).

Izmanto pakāpju īpašību

a^{n + m} = a^{n} \cdot a^{m}

7^{k + 1} - 1 = 7^{k} \cdot 7^{1} - 1 = 7 {\cdot 7}^{k} - 1

Ievēro, ka

7 \cdot 7^{n} = 6 \cdot 7^{n} + 1 \cdot 7^{n}

Tātad

7 \cdot 7^{k} - 1 = \underline{6 \cdot 7^{k}} + \underline{\underline{7^{k} - 1}}

Pārbaudam, vai iegūtā izteiksme dalās ar \(6\)?

6 \cdot 7^{k}

dalās ar \(6\), jo satur reizinātāju \(6\).

7^{k} - 1

dalās ar \(6\) pēc induktīvā pieņēmuma.

Tātad summa

6 \cdot 7^{k} + 7^{k} - 1

dalās ar \(6\).

Redzam, ka no izteikuma \(A(k)\) patiesuma seko \(A(k+1\)) patiesums.

Esam pierādījuši \(A(n)\) patiesumu visām \(n\) vērtībām.

Pamēģini patstāvīgi pierādīt apgalvojumu:

4^{n} - 1

dalās ar \( 3\) jebkuram naturālam \(n\).

(Atrisinājums dots skolotāja metodiskajos materiālos)

Atsauce:

B. Āboltiņa, D. Kriķis, K. Šteiners. matemātika 10. klasei. Zvaigzne ABC

Materiālu sagatavoja L. Baltiņa, JTV skolotāja

Atradi kļūdu?

4. 2. MIP piemērs. Dalīšanās