3. MIP piemērs. Algebriska daļa — teorija. Matemātika, 10. klase.

Piemērs, kurā izmanto matemātiskās indukcijas principu.

Piemērs:

Pierādi, ka katram naturālam n izpildās apgalvojums

\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + ... + \frac{1}{n (n + 1)} = \frac{n}{n + 1}

Apzīmē doto apgalvojumu ar \(A(n).\)

Indukcijas bāze. Ja \(n=1\), tad

\frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{1 + 1}

. Redzams, ka vienādība ir patiesa

\frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Induktīvais pieņēmums. Pieņemsim, ka fiksētam naturālam skaitlim \(k\) apgalvojums \(A(k)\) ir patiess, t.i.,

\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + ... + \frac{1}{k (k + 1)} = \frac{k}{k + 1}

Induktīvā pāreja. Izmantojot induktīvo pieņēmumu, pierādīsim atsevišķo apgalvojumu \(A(k+1):\)

\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + ... + \frac{1}{(k + 1) ((k + 1) + 1)} = \frac{k + 1}{(k + 1) + 1}

jeb, vienkāršojot,

\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + ... + \frac{1}{(k + 1) ((k + 2)} = \frac{k + 1}{k + 2}

Aplūkojam vienādības kreiso pusi, pievienojot pirmspēdējo saskaitāmo,

\begin{array}{l} \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + ... \frac{1}{k (k + 1)} + \frac{1}{(k + 1) ((k + 1) + 1)} = \\ = (\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + ... \frac{1}{k (k + 1)}) + \frac{1}{(k + 1) (k + 2)} \end{array}

Izmanto induktīvo pieņēmumu:

\begin{array}{l} \frac{k}{k + 1} + \frac{1}{(k + 1) (k + 2)} = \\ = {\frac{k}{k + 1}}^{(k + 2} + \frac{1}{(k + 1) (k + 2)} = \\ = \frac{k (k + 2) + 1}{(k + 1) (k + 2)} = \\ = \frac{k^{2} + 2 k + 1}{(k + 1) (k + 2)} = \\ = \frac{{(k + 1)}^{2}}{(k + 1) (k + 2)} = \\ = \frac{(k + 1) (k + 1)}{(k + 1) (k + 2)} = \\ = \frac{k + 1}{k + 2}, \end{array}

ko arī vajadzēja pierādīt.

Gan indukcijas bāze, gan pāreja ir pierādītas.

Tāpēc pēc matemātiskās indukcijas principa vispārīgais apgalvojums \(A(n)\) ir pierādīts.

Pamēģini pastāvīgi pierādīt apgalvojumu

\frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + ... + \frac{1}{(n + 1) (n + 2)} = \frac{n}{2 (n + 2)}

jebkuram naturālam \(n\).

(Atrisinājums dots skolotāja metodiskajos materiālos)

Atsauce:

http://www.lanet.lv/info/matind/mim-03.htm

Materiālu sagatavoja L. Baltiņa, JTV skolotāja

Atradi kļūdu?

5. 3. MIP piemērs. Algebriska daļa