7. 5. MIP piemērs. Dalīšanās. Kubu formula

Apzīmē doto apgalvojumu ar \(A(n).\)

Ja \(n=1\), tad $1^3+5\cdot 1=6$ dalās ar \(6\).

  

Pieņemsim, ka apgalvojums \(A(k)\) - patiess, t.i., pieņemsim, ka $k^3+5k$ dalās ar \(6\).

  

Pārbaudīsim, vai patiess \(A(k+1), \)t.i., pārbaudīsim vai ${\left(k+1\right)}^3+5\left(k+1\right)$ dalās ar \(6\).$\begin{array}{l}{\left(k+1\right)}^3+5\left(k+1\right)=\\ =\underset{¯}{k^3}+3k^2+3k+\underset{¯}{\underset{¯}{1}}+\underset{¯}{5k}+\underset{¯}{\underset{¯}{5}}=\\ =\left(k^3+5k\right)+\left(3k^2+3k\right)+6\end{array}$

Pēc induktīvā pieņēmuma par \(A(k)\) patiesumu $k^3+5k$ dalās ar \(6\). Skaidrs, ka \(6\) dalās ar \(6.\) Tātad induktīvā pāreja būs pierādīta, ja pratīsim pierādīt, ka $3k^2+3k$ dalās ar \(6\) vai, kas ir tas pats, ka $k^2+k$ dalās ar \(2\).

To, ka $k^2+k$ dalās ar \(2\), var pierādīt, ievērojot, ka $k^2+k=k\left(k+1\right)$ un viens no diviem pēc kārtas ņemtiem naturāliem skaitļiem \(k\) un \(k+1\) ir pāra skaitlis. Pāra un nepāra skaitļu reizinājums ir pāra skaitlis, tātad $k^2+k$ dalās ar \(2\).

 

Tātad summa $\left(k^3+5k\right)+\left(3k^2+3k\right)+6$ dalās ar \(6\).

 

Gan indukcijas bāze, gan pāreja ir pierādītas.

 

Faktu ka $k^2+k$ dalās ar \(2\), var pierādīt arī ar matemātisko indukciju. Izdari to patstāvīgi!
Var gadīties, ka vienā piemērā matemātiskās indukcijas metode jālieto vairākas reizes.